El electrón en un sólido periódico

EL ELECTRÓN EN UN SÓLIDO
PERIÓDICO

Tomado de: http://www.livescience.com/45590-electrons-have-split-personalities.html

Ángel Salazar Martínez
Grupo de Óptica y Espectroscopía (GOE)
Centro de Ciencia Básica-Escuela de Ingenierías
Universidad Pontificia Bolivariana
Medellín-COLOMBIA

Prof. Ángel Salazar Martínez

Un electrón en un sólido periódico: Modelo de Kronig-Penny
Un electrón en un sólidono puede estar completamente libre. Cuando
mucho estará aproximadamente libre.
La pregunta es: Cómo el potencial periódico en un cristal
afecta el comportamiento del electrón?

Por simplicidad, considérese un potencial delta periódico en un cristal
de longitud L .

Tomado de: H.-S. Philip Wong, Deji Akinwande, Carbon nanotube and
graphene device physics, Cambridge University Press, UK, 2011Prof. Ángel Salazar Martínez

Tomado de: H.-S. Philip Wong, Deji Akinwande, Carbon nanotube and graphene device physics, Cambridge University Press, UK, 2011

 2 d 2

 U  x   E Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
2
2m dx
Teorema de Bloch U x   U x  a    x   u x eikx

u  x   u  x  a  Amplitud modulada con la
Se imponen ahora
condiciones de frontera
periódicasperiodicidad de la red

 0    L 
O también

La función de onda es periódica y
su período es la longitud de la red

  L 2    L 2
Prof. Ángel Salazar Martínez

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ikx
Función de onda  x   u x e

Condiciones de frontera
periódicas  0    L 

  0  u 0    L   u L eikL  eikL  1  k 
O también

2
n
L

  L 2  u  L 2e ikL 2   L 2  u L 2eikL 2
2
ikL 2
ikL 2
ikL
e

e

e

1 k 

L

n

Prof. Ángel Salazar Martínez

Cómo debe ser u  x  ?

Consideremos una celda
unidad (la región entre
los potenciales delta).
En estas regiones:

U x   0
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d 2
2mE
d 2
2






  0;
2
2
2
dx

dx
Sustituyendo en esta ecuación a:

2 

 2 d 2

 E
2
2m dx

2mE
2

 x   ux eikx
se obtiene:





d 2u
du

2
ik
  2  k2 u  0
2
dx
dx

Ecuación de segundo orden con
coeficientes constantes.
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rx
Se supone: u x   e

Se obtiene:

u x    Acosx  Bsenx e ikx
Recordar que se debe
cumplir que:

u x   u x  a 

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Entonces,

x  0  u 0   u a 

Condiciones de frontera para la derivada:

2 






d

dx   C x dx   Edx
2

2m   dx


2

Integral de la ecuación de
Schrödinger en unaregión
pequeña alrededor de x  0

        

2m
2m


C

0


E 0
2
2


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En el límite épsilon tendiendo a cero:

        

2m
C 0  0
2

Reemplazando la función de onda y su derivada, esto es:

 x   ux eikx
se obtiene:

 x   u x ik eikx  ux eikx

        

u    u    ik u    u   Reemplazando:

 0

se obtiene:

 a

2m
Cu0
2

Porqué es posible?

u0  ua  

2m
Cu0
2

Prof. Ángel Salazar Martínez

u x    A cosx  Bsenx e ikx

Reemplazando

en

u 0   u a 

y

u0  ua  

2m
Cu0
2


Se obtienen dos ecuaciones simultáneas:





A 1  e  ika cosa  Be ikasena



2m 

A ike ika cosa  e ikasena  ik  2 C   B e ika cosa  ikeikasena  






Despejando A/B de la primera y reemplazando en la segunda se obtiene:

cos ka  cosa  P

sena
a

P

maC
2

Ecuación trascendental

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Gráfica del lado derecho

sena
cosa  P
a

Puede ser
mayor que 1 o...