El Espacio Euclideo Rn

El Espacio Euclideo Rn
Definici´n 1. Como conjunto, Rn es la colecci´n de todas las n-adas ordenadas de n´meros o o u reales. Es decir Rn = {(x1 , x2 , ..., xn )|xi ∈ R} Notaci´n. Denotamos a un elemento de Rn por x = (x1 , x2 , ..., xn ) o Dados dos elementos x, y ∈ Rn decimos que x = y ⇔ xi = yi ∀i = 1, 2, ..., n Frecuentemente a los elementos de Rn se les denomina vectores, y con lasoperaciones usuales (suma y producto por un escalar) Rn es un espacio vectorial. Estructura Algebraica La suma + : Rn × Rn → Rn para dos elementos x, y ∈ Rn se define asi: x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ) Definici´n 2. Definimos 0 ∈ Rn como o 0 = (0, 0, ..., 0) Lema 1. ∀ a, b, c ∈ Rn a+b=b+a a+b +c=a+ b+c 0+a=a ∀ a ∈ Rn ∃ b ∈ Rn tal que a + b = 0 (1) (2) (3) (4)

Observaci´n.-El elemento 0 es elunico elemento de Rn que se comporta como neutro para la o ´ suma. Para cada elemento a ∈ Rn existe exactamente un elemento b ∈ Rn tal que a + b = 0. A dicho elemento lo denotamos −a El producto escalar · : Rn × Rn → Rn para x ∈ Rn y λ ∈ R se define asi: λ · x = (λx1 , λx2 , ..., λxn ) 1

Lema 2. ∀ a, b ∈ Rn , λ, µ ∈ R 1·a=a (λ + µ) · a = λ · a + µ · a λ· a+b =λ·a+λ·b La base can´nica de dichoespacio vectorial son los vectores: o e1 = (1, 0, 0, ..., 0) e2 = (0, 1, 0, ..., 0) . . . en = (0, 0, 0, ..., 1) ya que si x = (x1 , x2 , ..., xn ), se tiene que x = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn en Estructura Geom´trica e Para dotar de una estructura geom´trica al espacio Rn (que incluya los conceptos de distancia, e angulo y ortogonalidad) debemos dotar a Rn de un producto escalar. ´ Definici´n 3. SeaE un espacio vectorial, un producto escalar en E es una funci´n de E ×E o o en R que a cada par de vectores x, y le asocia un n´mero u x, y que satisface las siguientes propiedades: 1) x, x > 0 si x = 0 2) x, y = y, x 3) λx, y = λ x, y 4) x + y, z = x + y + y, z 2 (5) (6) (7)

Teorema 1. La funci´n de Rn × Rn → R con valores o x, y = x · y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn es un producto escalarDemostraci´n. Tenemos que o a) b) x, x = x · x = x2 + x2 + · · · + x2 > 0 si x = 0 1 2 n

x, y = x · y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn = y1 x1 + y2 x2 + · · · + yn xn = y · x = y, x

c) λ x, y = λ(x · y) = λ(x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn ) = (λx1 y1 + λx2 y2 + · · · + λxn yn ) = ([λx1 ]y1 + [λx2 ]y2 + · · · + [λxn ]yn ) = (λx · y) = λx, y d) x+y, z = (x+y)·z = (x1 +y1 , x2 +y2 , ···, xn +yn)·(z1 , z2 , ···zn ) = ((x1 +y1 )z1 +(x2 +y2 )z2 +···

+(xn +yn )zn ) = x1 z1 +y1 z1 +x2 z2 +y2 z2 +···+xn zn +yn zn = x1 z1 +x2 z2 +···+xn zn +y1 z1 +y2 z2 +···+yn zn = (x · z) + (y · z) = x, z + y, z

Ejemplo.-Si x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ) son dos vectores de R2 , definimos x, y mediante la f´rmula o x, y = 2x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 El ejemplo anterior pone de manifiesto que puedenexistir m´s de un producto interior en un a espacio lineal dado. Ejemplo.-Sea C[a, b] el espacio lineal de todas las funciones reales continuas continuas en el intervalo [a, b]. Definimos f, g mediante la f´rmula o
b

f, g =
a

f (t)g(t)dt.

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El Espacio Normado Rn Un producto escalar , en un espacio vectorial E da lugar a una noci´n de longitud de un o vector x ∈ E, llamada su norma, ydefinida como x = x, x

En general, una norma en un espacio vectorial E es una aplicaci´n x → x de E en (0, +∞) o que satisface las siguientes propiedades: 1) x = 0 ⇔ x = 0 2) λx = λ x ∀λ ∈ R Desigualdad T riangular. 3) x + y ≤ x + y

Al par (E, . ) se le denomina espacio normado
Desigualdad de Cauchy-Shwarz Teorema 2. Sean x = (x1 , . . . , xn ) ¯ y = (y1 , . . . , yn ) elementos de Rn entonces ¯2 x 2 + . . . + yn 1 2 2 y1 + . . . + yn

|x1 y1 + . . . + xn yn | ≤ Primero probaremos la desigualdad |x1 ||y1 | + . . . + |xn ||yn | ≤ lo cual implica la desigualdad deseada ya que

2 x 2 + . . . + yn 1

2 2 y1 + . . . + yn

|x1 y1 + . . . + xn yn | ≤ |x1 ||y1 | + . . . + |xn ||yn | Demostraci´n. Si alguno de los vectores x ´ y es ¯ entonces la desigualdad se cumple trivialmente,...