El estrés

Álgebra de Conjuntos
1. Diagramas de Venn
Es un gráfico donde los conjuntos se representan con regiones encerradas en un plano, el conjunto universo U es el interior de un rectángulo y los otros conjuntos se representan como círculos dentro del rectángulo

2. Operaciones con conjuntos

2.1 Unión
Si A y B son dos conjuntos entonces la unión de A y B (AB) es el conjunto:
AB={x U |xA xB}(el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o B).

Ejemplos: U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
1) A={ 2, 3, 5, 7} B={ 1, 3, 5, 7, 9} AB={ 1, 2, 3, 5, 7, 9}
2) A= N B={0} AB= Z+ (Conjunto de enteros positivos)
3) A = { xN| 2<x6} B= {xZ| -8<x-5 } C={0} ABC={-7, -6, -5, 0, 3, 4, 5, 6 }

2.2 Intersección
Si A y B son dos conjuntos,entonces la intersección de A y B es el conjunto
AB={x U |xA xB} (Es el conjunto de los elementos que pertenecen tanto a A como a B [elementos en común])

Ejemplos:
1) Sean U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9 }, A={2,3,5,7} y B={1,3,5,79} AB={3,5,7}

2) Sean A = { xR| |x-3|2} y B= {xR| |x+1|<4}
A= (-,1] [5, ) B=(-5, 3) A B = (-5, 1]

3) Sean A= {1, 2, 3, 5} y B= {a, b,c} A B =

Conjuntos disjuntos. Recuerde que dos conjuntos son disjuntos (o ajenos) si no tienen elementos en común, es decir, A B =.

Propiedad 1. Como todo elemento x en AB pertenece tanto al conjunto A como al B; entonces AB es un subconjunto de A y de B, por lo tanto se tiene que:
ABA y ABB

2.3 Complemento de un conjunto
Si A es un conjunto, el complemento de A es elconjunto:
A={x U |xA} o sea xA xA (es el conjunto de todos elementos que pertenecen a U; pero no pertenecen a A).
También se puede denotar como A´ o Ac

Ejemplos:
1) Sean U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9 , 10}, A={2,3,5,7} entonces A={1, 4, 8, 9, 10}
2) Sea B={ xR| |x-5|<6}, se tiene que B = (-1, 11), entonces B=(-,-1] [11, )
Teorema 2
Sean A, B y C conjuntos pertenecientes a un U.Entonces se tienen las siguientes propiedades:
a) A B = B A (Propiedad conmutativa)
b) A ( B C ) = ( A B ) C (Propiedad asociativa)
c) A A = A (Propiedad de Idempotencia)
d) A A= (Propiedad de Complemento)
e) A U = A (U es el elemento neutro para la intersección)
f) AB A B=A

Teorema 3
Sean A, B y C conjuntos pertenecientesa un U. Entonces se tienen las siguientes propiedades:
a) A B = B A (Propiedad conmutativa)
b) A ( B C ) = ( A B ) C (Propiedad asociativa)
c) A A = A (Propiedad de Idempotencia)
d) A A= U (Propiedad de Complemento)
e) A = A ( es el elemento neutro para la unión)
f) AB A B=B
Teorema 4
Sean A, B y C conjuntospertenecientes a un U. Entonces se tienen las siguientes propiedades:
a) A ( B C ) = ( A B ) (A C ) (Propiedad Distributiva)
b) A ( B C ) = ( A B ) (A C) (Propiedad Distributiva)
c) A ( A B ) = A (Propiedad de Absorción)
d) A ( A B ) = A (Propiedad de Absorción)

Teorema 5
Sean A y B conjuntos pertenecientes a un U. Entonces se tienenlas siguientes propiedades:
a) A=A (Propiedad del Doble complemento)
b) A∪B=A∩B (Propiedad de Morgan)
c) A∩B=A∪B (Propiedad de Morgan)

2.4 Diferencia de Conjuntos
Si A y B son conjuntos pertenecientes a un U, entonces:
A-B={x U |xA xB} (es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A; pero que no pertenecen al conjunto B).La diferencia también se puede denotar como A\B.
A la diferencia también se le conoce como complemento relativo.

Ejemplos:
1) Sea A= {2, 3, 5, 7} y B = {1, 3, 5, 7, 9} A – B = {2} B – A = {1, 9}
2) Sean A = { xR| |x-2| 5} y B= {xR| |x+1|> 3} A = [-3, 7] y B=(-,-4) (2, ) A – B= [-3, 2] B – A = (-,-4) (7, )
De los ejemplos anteriores se puede observar...