el estudiante

Universidad Americana
Técnico en Instalación y Mantenimiento de Redes
Curso de Lógica y Matemática Computacional
Prof: M.A.I. Alexander Vargas Céspedes
CONJUNTOS
Definiciones y notaciones.
Un conjunto es simplemente una colección de objetos distintos los cuales se llaman elementos y se dice
que son miembros del conjunto.
Notaciones:
Los elementos: letras minúsculas del alfabeto, números,símbolos, caracteres, etc.
Los conjuntos: letras mayúsculas del alfabeto. Los elementos del conjunto se separan con coma y se
encierran entre llaves.
Por ejemplo si tenemos el conjunto A integrado por los elementos 1, 2, 3, 4 se denota A = {1, 2, 3, 4}.
Un conjunto se determina por los elementos y no por el orden de estos A = {1, 3, 4, 2}.
Podemos describir un conjunto de la siguiente forma:B = { x│x es un entero par positivo }lo que
describe al conjunto B formado por todos los enteros pares positivos. El símbolo │ se lee “tal que”.
Aquí, ser “un entero par positivo” es la propiedad necesaria para pertenecer al conjunto B, observe
que esta propiedad aparece después de la barra vertical.
Cardinalidad de un conjunto.
La cardinalidad de un conjunto finito es el número de elementosdistintos que tiene dicho conjunto. Su
notación es │B│.
Esto es, si B es un conjunto finito, se define │B│= número de elementos en B. Así por ejemplo si
tenemos que el conjunto B = {4, 5, 6, 8, 7} entonces su cardinalidad sería │B│= 5.
Para denotar que x existe o pertenece a B solo tenemos que mirar si x aparece o no en la lista o bien si x
cumple con la propiedad necesaria para perteneceral conjunto B. Si pertenece lo denotamos x Є B de
lo contrario x Є B.
/
Ejemplo: 5 Є B
/

2ЄB

Información tomada de: Johnsonbaugh, Richard. Matemáticas discretas. Sexta Edición. Pearson Prentice Hall. 2005

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Conjunto Vacío.
El conjunto sin elementos se llama “conjunto vacío” o “nulo” y se denota por { }, ø.
Así ø = { }. El conjunto vacío es subconjunto de cualquierconjunto.
Conjunto Finito.
Un conjunto es finito cuando tiene un número exacto de elementos.
Ejemplo:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

B = {a, b, c, d, e, f,……, z}

Conjunto Infinito.
Un conjunto es infinito cuando el número de sus elementos es desconocido.
Ejemplo:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…..}

B = {-1, -2, -3,….}

Conjunto Universo.
Un conjunto es “universal” cuando todos los conjuntosson subconjuntos de éste. Su notación es U.
Ejemplo: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = {1, 2, 3, 4} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Subconjunto.
Suponga que A y B son conjuntos del universo U. Si todo elemento de A es un elemento de B, se dice
que A es un subconjunto de B. Se escribe A ⊂ B.
Esto es, si D = {1, 3} y A = {1, 3, 4} entonces D ⊂ A, o bien ∀x(x∈D → x∈A).
Ejemplo:
Sea A = {x |x2+x-2=0} y B = {x | x es un número entero}, donde el Dominio es el conjunto de
números reales. Para probar que A ⊂ B se debe demostrar que ∀x(x∈ A → x∈B).
Para esto debemos______ x de la ecuación x2 + x – 2 = 0, como es una ecuación cuadrática utilizamos
despejar
la fórmula -b ±√b2-4ac, se obtienen dos valores que son las soluciones de la ecuación por lo tanto:
2ª
____
-1 + √1+8 = -1 + 3 =
22

1

_____
-1 - √1+8 = -1-3 =
2
2

-2

Información tomada de: Johnsonbaugh, Richard. Matemáticas discretas. Sexta Edición. Pearson Prentice Hall. 2005

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Observe que se obtiene x = 1 y x = -2, ambos valores son números enteros, de manera que x∈B. Por lo
tanto, para toda x en el dominio x∈ A → x∈B, se concluye entonces que A ⊂ B.
Para demostrar que A no es subconjuntode B, debe encontrarse al menos una x en el dominio que esta
en A pero no en B. Esto es donde ∀x(x∈ A → x∈B) es falsa.
Demostrar que x∈ A → x∈B es falsa es equivalente a probar que su negación ¬ (x∈ A → x∈B) es
verdadera.
Recordemos que ¬ (p→ q) ≡ p ⋀ ¬ q
entonces se debe probar que para al menos una x en el dominio
x∈A ⋀ ¬ (x∈B) o lo que es lo mismo que x∈A ⋀ x∉B sea verdadero.
Ejemplo:...