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EL LARGO CAMINO DEL CÁLCULO
A menudo se dice que Newton y
Leibniz inventaron el cálculo para
resolver problemas en el mundo de la
física. No hay evidencias de esta
afirmación. Más bien, al igual que sus
predecesores, Newton y Leibniz estaban
motivados por la curiosidad de resolver
los problemas de “tangente” y “área”, es
decir,
intentaban
construir
procedimientos generales para hallartangentes y áreas. Una vez que se
desarrolló el cálculo, se aplicó a una
variedad de campos, en especial a la
física, con éxito sorprendente.
Gottfried Wilhelm Leibniz
Los orígenes del cálculo se remontan
unos 2000 años atrás a los trabajos de
los griegos sobre áreas y tangentes.
Arquímedes (287-212 a.C.) halló el área
de una sección de parábola, logro que en
los términos aquíestablecidos significa
calcular la expresión:
∫
b
0
260-200 a.C.) escribió acerca de
tangentes a elipses, parábolas e
hipérbolas, y Arquímides analizó las
tangentes a ciertas curvas en forma
espiral. Ni siquiera intuyeron que los
problemas de “área” y “tangentes” serían
convergentes mucho siglos después.
Con el colapso del mundo griego,
simbolizado por el cierre de la Academia
de Platón porordenes del emperador
Justiniano en el año 529 d.C., institución
que había sobrevivido durante un
milenio, al mundo árabe correspondió
preservar
los
trabajos
de
los
matemáticos griegos. En una ambiente
liberal, los estudiantes árabes, cristianos
y judíos trabajaron juntos, traduciendo y
comentando los antiguos escritos, y
agregando ocasionalmente su propio
lucimiento. Por ejemplo,Alhazen (965-
1039 d.C.) calculó volúmenes de ciertos
sólidos.
Sólo hasta el siglo XVII varias ideas se
fusionaron en el cálculo. En 1637,
Descartes (1596-1650) y Fermat (1601-
1665) introdujeron la geometría analítica.
Descartes examinó una curva dada con
ayuda del álgebra, en tanto Fermat tomó
la ruta opuesta, y se encargó de explorar
la geometría escondida en una ecuación
dada. Porejemplo, Fermat demostró que
la gráfica de:
ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0
es siempre una elipse, una hipérbola,
una parábola, o una de sus formas
degeneradas.
x 2 d x
Él también logró determinar el área de
una elipse así como el área y volumen
de una esfera. Apolonio (alrededor de
En este mismo periodo, Cavalieri (1598-
1647) halló el área bajo la curva y = x n
para n = 1,2,3, ...,9 de acuerdo con un
método en el que la longitud de loscálculos aumentaba a medida que el
exponente se hacía mayor. A partir del
valor n = 9, aseguró que el patrón
debería ser válido para exponentes
mayores. En los siguientes 20 años,
varios matemáticos justificaron su
conjetura. De manera que, aun el cálculo
del área bajo y = x n para un entero
positivo n, que se toma como ejemplo,representa un gran triunfo.
“¿Qué sucede con otros exponentes? ”,
podría preguntarse el lector. Antes de
1665 no se conocían otros exponentes.
No obstante, fue posible trabajar con la
función que se ha denotado y = x n/4 para
enteros positivos p y q mediante su
descripción como la función en que y 4 =
x n . (Por ejemplo, y = x 2/3 sería la función
y que satisface y 3 = x 2 ). Wallis (1616-1703) halló el área por un método que
tiene más carácter mágico que
matemático. Sin embrago, Fermat obtuvo
el mismo resultado con ayuda de series
geométricas infinitas.
El problema de determinar tangentes a
curvas estuvo en boga en la primera
mitad del siglo XVII. Descartes mostró
cómo hallar una recta perpendicular a
una curva en un punto P (mediante la
construcción de un circulo quetoca la
curva sólo en P); la tangente fue
entonces la recta que pasa por P y es
perpendicular a esa recta. Fermat halló
tangentes a curvas en forma muy similar
a la que se ha presentado en este texto y
las aplicó a problemas de máximos y
mínimos.
para evitar la plaga, desarrolló los
fundamentos del cálculo, al advertir que
hallar tangentes y calcular áreas eran
procesos inversos. La...