El legado hist rico de las ecuaciones diferenciales

El legado histórico de las ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales ordinarias comienzan con el nacimiento del cálculo de Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried WilhelmLeibniz (1646-1716), quienes iniciaron el estudio del problema inverso de la diferenciación: dada una relación entre dos cantidades y sus diferenciales (o fluxiones), cómo encontrar una relación entre las cantidades (ofluentes). Sin embargo, este problema analítico de la integración de ecuaciones diferenciales de primer orden corresponde a un problema geométrico formulado con anterioridad: el método inverso detangentes; esto es, cómo encontrar una curva caracterizada por una propiedad dada de sus tangentes.
Sin embargo, incluso habiendo logrado tal separación de variables, aunque no siempre es el caso,continúa el problema de reducir las cuadraturas a otras más simples. Además, Johann Bernoulli destaca en su Lecciones matemática en 1691, que la separación de variables puede ocultar la naturaleza delproblema. Por ejemplo,  escrita como variables separables involucra, en apariencia curvas logarítmicas cuando, en realidad, la solución es algebraica: .
Varios problemas geométricos y mecánicos, provocaronque los matemáticos comenzaran a pensar acerca de las ecuaciones diferenciales de orden mayor que uno. Este es el caso de Jacopo Riccati (1676-1754) quien presentó en 1723 la ecuación que lleva sunombre:  resuelta por Daniel Bernoulli (1700-1782) y Leonhard Euler. Las bases de la teoría general de la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes variables fueron desarrolladas en 1765por Joseph Louis Lagrange (1736-1813) y Jean le Rond D'Alembert (1717-1783). Usando dos métodos diferentes, mostraron que n integrales particulares de la ecuación homogénea determinan la integralcompleta de la ecuación no homogénea a través de n cuadraturas. En 1776, Lagrange nota que este resultado puede también ser demostrado usando el método de variación de la constante, que se convirtió en...