El llano en llamas

La integral de Riemann
Vamos a dar una definición precisa de la integral de una función definida en un intervalo. Este
tiene que ser un intervalo cerrado y acotado, es decir [a, b] con a < b ∈ R, y la definición que daremos
de integral solo se aplica a funciones acotadas, y no a todas, sino a las funciones que llamaremos
integrables.
En el siguiente capítulo veremos cómo, en un sentido másamplio, podemos hablar de integrales
de funciones no acotadas o definidas en intervalos no acotados.
Seguimos básicamente el desarrollo que puede verse, entre otros muchos textos, en [ROSS, cap. VI,
pág. 184 y sigs.] o en [BARTLE-SHERBERT, cap. 6, pág. 251 y sigs.]. Como complemento puede consultarse
[GUZMÁN, cap. 12]. La evolución histórica de la integral está muy bien contada (sobre todo laaportación de Newton y Leibniz) en [DURÁN]; de carácter más técnico es el libro [GRATTAN-GUINNESS].
6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann
6.1.1. Definición de integral
Definición 6.1.1. Una partición de un intervalo [a, b] es un conjunto finito de puntos de [a, b] que
incluye a los extremos. Una partición P la representamos ordenando sus puntos de menor a mayor,
comenzando en a yterminando en b:
P = {x
i
}
n
i=0
≡ {a = x
= b}.
El conjunto de las particiones de [a, b] lo indicamos con P([a, b]). Una partición como la indicada
divide el intervalo [a, b] en n subintervalos [x
0
< x
i−1
1
, x
< x
i
2
< . . . < x
n−1
< x
], cada uno de longitud x
n
i
−x
.
Definición 6.1.2 (sumas de Darboux). Sea f una función acotada definida en [a, b], y sea P ∈
P([a,b]), P ≡ {a = x
= b}. Sean, para cada i = 1, . . . , n,
M
i
0
< x
1
< x
2
< . . . < x
= sup{ f (x) : x ∈ [x
i−1
n−1
, x
i
< x
n
]}; m
i
=
´
ınf{ f (x) : x ∈ [x
]}.
La suma inferior de f asociada a P se define como
y la suma superior de f asociada a P es
S( f , P) =
S( f , P) =
n
∑
i=1
n
∑
i=1
m
M
119
i
i
(x
(x
i
i
−x
−x
i−1
i−1
),
).
i−1
, x
i−1
i120 Capítulo 6. La integral de Riemann
a x
1
x
2
f (x)
. . .
x
Suma inferior asociada a una partición
n−1
b
a x
1
x
2
f (x)
. . .
x
Suma superior asociada a una partición
Observación. Para cualquier P ∈ P([a, b]) tenemos que S( f , P) ≤ S( f , P), ya que m
para cada
i. También, poniendo M = sup{ f (x) : x ∈ [a, b]}, m =
´
ınf{ f (x) : x ∈ [a, b]}, se deduce que m(b −a) ≤
S(f , P) ≤ S( f , P) ≤ M(b −a) cualquiera que sea la partición P (y por consiguiente, tanto el conjunto
de las sumas superiores como el de las sumas inferiores están acotados, superiormente por M(b −a),
inferiormente por m(b −a)).
Nota (relación entre la integral y la medida de áreas). Supongamos que f es una función no
negativa y consideremos la región que delimita su gráfica con las rectas y =0, x = a y x = b. Si el área
de dicha región es A, entonces
S( f , P) ≤ A ≤ S( f , P),
ya que las respectivas sumas son las áreas que obtenemos si cambiamos f en cada [x
o
M
i
, y los hemos definido de forma que m
i
≤ f ≤M
(de hecho hemos tomado los valores más ajustados
que cumplen dichas desigualdades).
a x
1
x
2
i
. . .
x
Suma superior, área y suma inferior
n−1
b
En lafigura, se representan en distinto color la diferencia entre la suma superior y el área A y
la diferencia entre A y la suma inferior. Parece claro que si tomamos una partición suficientemente
nutrida de puntos podemos conseguir que estas zonas sean muy pequeñas, de forma que tanto la suma
superior como la inferior sean arbitrariamente próximas al área A.
i
≤ M
i−1
, x
i
i
n−1
) por m
i
b6.1. Definición (de Darboux) de la integral de Riemann 121
Definición 6.1.3. Dada f acotada en [a, b], se define su integral inferior en [a, b] como
y su integral superior en [a, b] como
!
a
!
b
a
b
f = sup{S( f , P) : P ∈ P([a, b])},
f =
´
ınf{S( f , P) : P ∈ P([a, b])}.
Notemos que, como consecuencia de la observación previa, la integral inferior y la superior son
valores reales...