El Logaritmo

El logaritmo se define como:

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.


Definición de logaritmo
En análisis matemático, usualmente, el logaritmo de un número real positivo —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay queelevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.
De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.
Para representar la operación delogaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.
Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptadospor científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculoy tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por identidades logarítmicas — que el logaritmo de unproducto es la suma de los logaritmos de los factores:
Transformación de expresiones exponencionales y logaritmicos y viceversa
Propiedades de loslogaritmos
Propiedades 
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

Ejemplo 

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

Ejemplo 

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ejemplo 

4.El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre ellogaritmo del radicando y el índice de la raíz:

Ejemplo 

5. Cambio de base:

Ejemplo 


FUNCIÓN EXPONENCIAL
Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la función


Esta función se escribe también como f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de x».
Antes de dar un ejemplo de función exponencial, conviene recordar algunas propiedades de laspotencias:






Propiedades de los logaritmos
1. Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.
loga(X · Y)= loga X + loga Y
Demostración:
Sea loga X = x; esto significa que ax = X.
Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y.
loga(X · Y)= loga (ax · ay) = loga ax+y = x + y = loga X + loga Y
Este resultado se puedegeneralizar para más de dos factores.
Si X1, X2, X3, ..., Xn son n números reales, positivos y no nulos,
loga(X1 · X2 ... Xn)= loga X1 + loga X2 + ... + loga Xn
2. Logaritmo de un cociente
El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

Demostración:
Sea loga X = x; esto significa que ax = X
Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y

3.Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.
loga Xn = n loga X
Demostración:
Sea loga X = x; esto significa que ax = X.
loga Xn = loga (ax)n = loga anx = nx = n loga X
4. Logaritmo de una raíz
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.

AntilogaritmoEl Antilogaritmo es la función inversa de un logaritmo. También se llama antilogaritmo N de un número m, respecto de una base a, al número del cual m es logaritmo.

Ejemplos:

- Si loga N = m entonces N = antiloga m
- Si loga 32 = 5 entonces 32 = antilog2 5

El antilogaritmo, tal como lo dice su nombre (anti-logaritmo), es la operación contraria al logaritmo.

Si tienes log[b] x = a, donde "x" es...