El método axiomático





DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN SUPERIOR


FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA






Carrera: 4º Matemática
Período: 1º cuatrimestre
Temas: “El método axiomático y Hilbert”- “Geometría Analítica”















2013
David Hilbert

David Hilbert (23 de enero de 1862, Königsberg, Prusia Oriental – 14 de febrero de1943, Gotinga, Alemania) fue un matemático alemán, reconocidocomo uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de lainfraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 deun conjunto de problemas que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.
En la pugna por demostrar correctamente algunos de los errores cometidos por Einstein, en la teoría general de la relatividad, David Hilbert se adelantó a las correcciones de Einstein, sin embargo nunca quiso otorgarse el mérito.

El teorema de finitud
El primer trabajo de Hilbert sobrefunciones invariantes le llevó en 1888 a la demostración en su famoso teorema de finitud. Veinte años antes, Paul Gordan había demostrado el teorema de la finitud de generadores para formas binarias usando un complejo enfoque computacional. Los intentos de generalizar este método a funciones con más de dos variables fallaron por la enorme dificultad de los cálculos implicados. Hilbert se dio cuentade que era necesario seguir un camino completamente diferente. Como resultado, demostró el teorema fundamental de Hilbert: mostrar la existencia de un conjunto finito de generadores, para las invariantes cuánticas en cualquier número de variables, pero de forma abstracta. Esto es, demostró la existencia de dicho conjunto, pero no de forma algorítmica sino mediante un teorema de existencia.
Hilbertenvió sus resultados a los Mathematische Annalen. Gordan, el experto en teoría de invariantes para la Mathematische Annalen, no fue capaz de apreciar la naturaleza revolucionaria del teorema de Hilbert y rechazó el artículo, criticando la exposición porque era insuficientemente comprensiva. Su comentario fue:
“Esto es teología, ¡no matemática!”
Klein, por otro lado, reconoció la importancia deltrabajo y se aseguró de que fuese publicado sin alteraciones. Animado por Klein y los comentarios de Gordan, Hilbert extendió su método en un segundo artículo, proporcionando estimaciones sobre el grado máximo del conjunto mínimo de generadores, y lo envió una vez más a los Annalen. Tras leer el manuscrito, Klein le escribió, diciendo:
“Sin duda éste es el trabajo más importante en álgebrageneral que los Annalen han publicado nunca.”
Más adelante, cuando la utilidad del método de Hilbert había sido reconocida universalmente, el propio Gordan diría:
“He de admitir que incluso la teología tiene sus méritos.”

Axiomatización de la geometría.
El texto Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la geometría), que Hilbert publicó en 1899, sustituye los tradicionales axiomas de Euclides porsistema formal de 21 axiomas. Evitan las debilidades identificadas en los de Euclides, cuya obra clásica Elementos seguía siendo usada como libro de texto en aquel momento.
El enfoque de Hilbert marcó el cambio al sistema axiomático moderno. Los axiomas no se toman como verdades evidentes. La geometría puede tratar de cosas, sobre las que tenemos intuiciones poderosas, pero no es necesario...