El método de integración de romberg

MÉTODO DE INTEGRACIÓN DE ROMBERG
Sea el valor de la integral que aproxima a , mediante una partición

de subintervalos de longitud

, usando la regla del trapecio. Entonces,

donde

es elerror de truncamiento que se comete al aplicar la regla. dos aproximaciones de

El método de extrapolación de Richardson combina integración numérica, para obtener un tercer valor más preciso.

Elalgoritmo más eficiente dentro de éste método, se llama Integración de Romberg, la cual es una fórmula recursiva. Supongamos que tenemos dos aproximaciones: e

Se puede demostrar que el error que secomete con la regla del trapecio para n subintervalos está dado por las siguientes fórmulas:

donde

es un promedio de la doble derivada entre ciertos valores que pertenecen a cada es constante,entonces:

uno de los subintervalos. Ahora bien, si suponemos que el valor de

Sustituyendo esto último en nuestra primera igualdad, tenemos que:

1

De aquí podemos despejar

:

En elcaso especial cuando

(que es el algoritmo de Romberg), tenemos:

Esta fórmula es solo una parte del algoritmo de Romberg. Para entender el método, es conveniente pensar que se trabaja en niveles deaproximación. En un primer nivel, es cuando aplicamos la regla del Trapecio, y para poder usar la fórmula anterior, debemos duplicar cada vez el número de subintervalos: así, podemos comenzar con unsubintervalo, luego con dos, cuatro, ocho, etc., hasta donde se desee. Posteriormente, pasamos al segundo nivel de aproximación, que es donde se usa la fórmula anterior, tomando las parejas contiguasde aproximación del nivel anterior, y que corresponden cuando Después pasamos al nivel tres de aproximación, pero aquí cambia la fórmula de Romberg, y así sucesivamente hasta el último nivel, que sealcanza cuando solo contamos con una pareja del nivel anterior. Desde luego, el número de niveles de aproximación que se alcanzan, depende de las aproximaciones que se hicieron en el nivel 1. En...