El Mas

MATEMÁTICA BÁSICA

INGENIERÍAS
MATRICES

Aplicación
En el parque industrial de Villa Salvador se producen dos tipos de muebles A y B los cuales se venden en las tiendas de La Molina y Surquillo. El modelo A a S/. 750 y el modelo B a S/. 520. Tienen en La Molina 300 muebles del modelo A y 120 del modelo B, en Surquillo tienen 150 del modelo A y 280 del modelo B. ¿Cuánto será su ingreso encada tienda, si logran vender todo su stock?

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Matrices
Se llama matriz de orden m x n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n líneas verticales (columnas).
Columna 1 Columna 2 Columna 3

1 2 3  A   4 5 6
La matriz es de orden 2x3

Fila 1

Fila 2
3

Matriz de orden m x n
 a11 a12 a A   21 a22 a31 a32  a13   a23 a33  

Se expresa: A = (aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j).
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Ejercicio: Determine la matriz A de orden de 3x3 si sus elementos están formados por:
 i j  2 si i  j 2i  j si i  j a ij    ji si i  j   2

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Matrices iguales
Dosmatrices A = (aij) y B = (bij) de orden m x n:

son iguales cuando los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas matrices son iguales. Es decir,
A = B si y sólo si aij = bij para toda i, j

1  1 2   2 1  2  2  3 0   6 0     
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Matrices especiales:
Matriz Nula La matriz nula m x n, está representada por 0, y tiene cada elemento igual a 0.

0 0 0  0  0 0   0 0 0 

0 0  0 

0 0 0  0  0 0 0 
7

7

.

Matriz fila
Solo tiene una fila, es de orden 1xn.

A  a11 a12 a13 .... a1n 
 a11  a   21  A  ....    am1 
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• Matriz columna Solo tiene una columna, es de orden mx1.

Matriz cuadrada Una matriz que tiene el mismo número de columnas que de filas, es de orden n x n.

Diagonal
A3

 3 2 4     1 0 0   2 3 1 3  
B

2

1

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. Matriz Triangular
Matriz triangular superior:
Una matriz cuadrada es triangular superior

• Matriz triangular inferior:

An

Una matriz cuadrada An es triangular inferior

si a i j = 0 para i > j

si a i j = 0 para i < j

 3 2 4  0 1 0  An    0 0 2   

3 0 0 2  1 0 B  1 0 2   
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Matriz diagonal: La matrizcuadrada An es diagonal si a i j = 0 para i ≠ j y
 aij  0, 1  i  n

3 0 0  0 1 0  An    0 0 2   
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. Matriz Identidad
Es la matriz cuadrada In de orden n x n y se define
aij = Ejemplo:
1 0 I2 =   0 1 

1 0

si i=j si ij
1 0  0  0 1 0 0  0 1 
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I3 =

.Transpuesta de una matriz
La transpuesta de la matriz A =(aij), de orden mxn es la matriz At= (aji) de orden nxm. At es la matriz que tiene por elemento de lugar (ij) al elemento de lugar (ji) de la matriz A.

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Ejemplo:

1 2 3  A   4 5 6

1 4  2 5 t A   3 6   

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.Matriz inversa aditiva
La inversa aditiva de la matriz A = (aij) es la matriz -A = (-aij)

 5 2 4   1  5 7  A   6 2 1   

  5 2  4  1 5 7  -A      6 2  1 
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. Matriz simétrica. Sea la matriz cuadrada An  aij  , A es simétrica si   y sólo si A = At . Matriz antisimétrica. A es antisimétrica sí y sólo si At = - A . Matriz ortogonal. Sea la matriz cuadrada An  aij  , A es ortogonal si   y sólo si A-1 = At
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. Diagonal Principal. Dada la matriz cuadrada An  aij  , se llama diagonal   principal al conjunto D a11 , a22 , a33,..., ann 
Ejemplo:
 2 3 1  1 4 3 Sea A4    8 1 3  4 3 2 5 2  4  0
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D 2, 4,3,0 es la diagonal principal de A4

. Traza de una matriz. Sea la matriz cuadrada A  aij  n , se llama   TRAZA de A, al número
Tr ( A)  a11  a22  a33  ...  ann

(es la suma de los elementos de la diagonal principal)
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. Matriz Escalar. Es una matriz diagonal
cuyos...