El Master

Funciones exponencial y logarítmica

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS
FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
FUNCIONES EXPONENCIALES
Una función exponencial con base a se define como:

y = f (x ) = a x
donde a ∈ R con a > 0 , a ≠ 1 y x es un número real.

f (x )

Esto significa que la base de la funciónexponencial siempre es positiva, por lo que el valor de

f (x ) = 1x = 1 .

positivo. Además, la base no puede ser la unidad, porque se convertiría en la función constante
Es importante que esta función no se confunda con la función

siempre es

f (x ) = x a , cuya base es x que asocia a

a

cada número real a un número positivo x . El comportamiento de estas funciones es muy distinto. Paraejemplificar esto, se toma el valor de a = 3 y tabulando ambas funciones, se tiene:

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

f (x ) = x

3

-27

-8

-1

0

1

8

27

64

125

216

f (x ) = 3

x

0.037

0.111

0.333

1

3

9

27

81

243

729

Como puede apreciarse, la diferencia de valores es considerable, ya que en la primerafunción sólo se
calcula el cubo del número y en la segunda se comporta de forma exponencial.

DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA DE FUNCIONES EXPONENCIALES
Al graficar la función y = 3

x

tomando en consideración la tabulación anterior, se obtiene:
y
80

60

40

20

-3

-2

-1

1

1

2

3

4

x

Funciones exponencial y logarítmica

Facultad de Contaduría yAdministración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

x

1
Ahora, si se grafica la función y =   , se tiene:
7
y
80

x
-3
-2
-1
0
1
2
3

1
y= 
7

x
60

343
49
7
1
0.1428
0.0204
0.0029

40

20

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

Graficando la función y = 2.7 , se obtiene:
x

y
80

x

y = 2.7 x

-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4

0.01880.0508
0.1371
0.3703
1
2.7
7.29
19.683
53.1441

60

40

20

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

x

1
Finalmente, si se grafica la función y =   , se tiene:
4
y
80

x
-3
-2
-1
0
1
2
3

1
y= 
4

x
60

64
16
4
1
0.25
0.0625
0.015625

40

20

-3

-2

2

-1

1

2

3

4

x

Funciones exponencial y logarítmicaFacultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

De acuerdo a lo anterior, se puede concluir que :

(

)

•

El dominio de la función exponencial es el intervalo abierto: − ∞ ,∞

•

El rango de la función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos: 0,∞

•

No cruza al eje x , siempre corta al eje y en el punto P 0,1 ypasa por el punto P 1,a

()

()

(

)

Siempre es creciente si a > 1 y siempre es decreciente si 0 < a < 1
La función crece más rápido si la base es cada vez mayor y decrece más rápido si la base es cada vez menor
Es continua

•
•
•

Si el valor de la base es uno, a se convierte en la función constante
recta paralela al eje x , a una unidad de distancia.

•

f (x ) = 1 ,representada por una

Es importante mencionar que se pueden modificar los parámetros de la función exponencial de manera
similar a los que las funciones trigonométricas. Esto es, se pueden presentar variaciones de la forma:

f (x ) = k ⋅ a x , f ( x ) = a k ⋅ x , f (x ) = a k + x , f (x ) = a x + k , etc.

ECUACIONES EXPONENCIALES
A las ecuaciones que contienen términos de la forma a , a > 1, a ≠ 1 se les llama ecuaciones
exponenciales. Tales ecuaciones pueden resolverse aplicando de forma apropiada las leyes de
1
exponentes de forma tal que pueda llegarse a una expresión con la misma base y reducir, teniendo en
x

cuenta que: a = a
u

v

⇔

u=v

Ejemplos.
Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:
x +1

= 27
1) 3
Solución.

3 x+1 = 33 , pero se sabe...