el mecanismo

Problemas de Selectividad:F´
ısica
Juan P. Campillo Nicol´s
a
3 de noviembre de 2013

2

Cap´
ıtulo 1
Interacci´n gravitatoria
o
1.1.

Conceptos previos.

Ley de Gravitaci´n Universal: La fuerza con que se atraen dos masas viene
o
expresada por:
→
−
GMm →
F = − 2 −r
u
r
→
donde −r es un vector unitario radial. En el caso de querer calcular la fuerza que una
u
masasituada en (a, b), ejerce sobre otra situada en (c, d), resulta c´modo hacer:
o
→
−
→
− →
F = | F | −r
u
Donde ur se calcula de la forma:
ur =

→
−
→
−
(c − a) i + (d − b) j

(

(c − a)2 + (d − b)2 )

Como puede verse en el siguiente dibujo:

(c,d)
→
−
F

(a,b)
→
−
ur

Cuando queremos conocer la fuerza que varias masas puntuales ejercen sobre otra,
no tendremos m´sque hallar cada uno de los vectores fuerza que las otras masas
a
ejercen sobre la que consideramos, y sumar dichos vectores.
Intensidad de campo gravitatorio: La intensidad de campo gravitatorio viene
dada por la expresi´n:
o
→
− = − GM −
→
g
ur
r
3

´
CAP´
ITULO 1. INTERACCION GRAVITATORIA

4

Por lo que lo que, de forma similar al apartado anterior, podremos poner que:
→
−= |− | −
→ →
g
g u
r

Siendo de aplicaci´n lo que se ha mencionado anteriormente acerca del vector unitario
o
y de la intensidad de campo gravitatorio creado por varias masas en un punto.
Energ´ potencial gravitatoria y potencial gravitatorio en un punto: La
ıa
energ´ potencial gravitatoria se define como el trabajo necesario para desplazar una
ıa
masa desde el infinito hasta el puntoque consideramos. Se obtiene a partir de la
expresi´n:
o
r
GMm → →
GMm
W =
− 2 −r · d− = −
u
r
r
r
∞
Como podemos ver, la energ´ potencial gravitatoria es una magnitud escalar, por
ıa
lo que la energ´ potencial de una masa debida a la presencia de otras, ser´ la suma
ıa
a
algebraica de las energ´ potenciales debidas a cada una de ellas.
ıas
Lo dicho anteriormente es v´lidocuando hablamos de potencial gravitatorio, con la
a
unica salvedad de que la masa m tendr´ el valor unidad.
´
a
Tercera ley de Kepler : El cuadrado del periodo de revoluci´n de un planeta
o
alrededor del Sol (y, por extensi´n, el periodo de rotaci´n de un cuerpo respecto a
o
o
otro), es directamente proporcional al cubo de la distancia media entre ambos, lo
que se puede expresar como:
T2 =4π 2 r 3
,siendo M la masa del cuerpo respecto al que se describe la orbita
´
GM

Velocidad de una ´rbita: Teniendo en cuenta que el m´dulo de la fuerza de
o
o
atracci´n gravitatoria de un cuerpo sobre otro que gira respecto a ´l, puede expresarse
o
e
en la forma:
mv 2
GMm
= ma =
r2
r
Podremos despejar v, quedando:
v=

GM
r

Velocidad de escape: Es la velocidad m´
ınimaque debe ser suministrada a un
cuerpo para que escape a la atracci´n gravitatoria de un planeta. Teniendo en cuenta
o
GMm
que en la superficie de dicho planeta, la energ´ potencial del cuerpo es −
ıa
,y
r
que en el infinito, tanto la energ´ cin´tica como la potencial son nulas, tendremos,
ıa
e
en aplicaci´n del Principio de Conservaci´n de la Energ´
o
o
ıa:
GMm 1 2
+ mve = 0
r
2De donde, despejando, obtenemos:
−

ve =

2GM
r

5

1.2. PROBLEMAS RESUELTOS.

Energ´ de una ´rbita: La energ´ de una ´rbita, suma de las energ´ cin´tica y
ıa
o
ıa
o
ıas
e
potencial es:
GMm 1 2
E=−
+ mv
r
2
Sustituyendo la velocidad por la expresi´n obtenida antes, v =
o
E=−

GM
, tendremos:
r

GMm GMm
GMm
+
=−
r
2r
2r

De aqu´ podemos comprobar que elvalor de la energ´ cin´tica es la mitad del valor
ı
ıa
e
absoluto de la energ´ potencial.
ıa

1.2.

Problemas resueltos.

1.- Un sat´lite de 1000 kg de masa gira alrededor de la Tierra con un periodo de 12
e
horas. (Datos: G = 6, 67 · 10−11 en unidades S.I; masa de la Tierra = 5, 98 · 1024 kg).
Calcular
1.a.- El radio de giro.
1.b.- La velocidad del sat´lite.
e
1.c.- Su energ´...