El mejor trabajo de teoria de numeros

UNIDAD IV: RELACIONES Y FUNCIONES
PRODUCTO CARTESIANO
Un par ordenada consta de dos elementos y , donde nos interesa el orden en que aparecen los objetos. Llamemos a esta pareja. Por ejemplo, , pero . En esencia nos gustaría que todo par ordenado cumpliera la siguiente propiedad:
si y sólo si [ y ] (dos parejas ordenadas son iguales si y solo sí sus elementos son iguales y aparecen en elmismo orden).
Podríamos definir el par ordenado como el objeto con la propiedad anterior. Pero aún mejor, podríamos invertir los papeles (esto se hace frecuentemente en matemáticas): dar una definición conjuntista de y mostrar que, así definido, este conjunto cumple la propiedad que queremos. Esto es lo que hacemos a continuación:
Definición 66 (Par ordenado)   Dados elementos (o conjuntos!),definimos el par ordenado así:

es llamado ''el par coma '''', o simplemente `` coma ''.
Por ejemplo, es el conjunto , mientras que es el conjunto . Note que, por ejemplo, , y por esto concluimos (como queríamos) que .
Antes de mostrar la propiedad que mencionamos anteriormente, vale la pena observar los siguientes hechos conjuntistas (cuya demostración dejamos al lector), que utilizaremosconstantemente:
1. si y sólo si no es un singleton (un singleton es, como su nombre se indica, un conjunto de un elemento. Por ejemplo, es un singleton).
2. si y sólo si .
Teorema 67 (Propiedad del par ordenado)   si y sólo si [ y ]
Demostración. [Prueba]
La dirección es inmediata por la definición de par ordenado. Probemos entonces la otra dirección. Suponga que , esto es, . Hay 2casos:
Caso 1: : en este caso . Pero esto implica que , lo cual a su vez implica que . Entonces son el mismo elemento, y en particular podemos concluir y .
Caso 2: : Entonces tiene 2 elementos (¿por que?), lo cual implica que (siendo el mismo conjunto) tiene 2 elementos. Pero esto implica (¿por qué?) que . Como , entonces o . Pero la segunda opción es imposible, luego , es decir, . Similarmente o ,pero la primera opción es imposible, así que . Esto implica que o , pero la primera opción es imposible (pues y ), luego concluimos que .
Dados dos conjuntos y podemos formar el conjunto todas las parejas ordenadas , donde la primera coordenada () viene de , y la segunda coordenada () viene de . A este conjunto lo llamamos el producto cartesiano de y y lo notamos así: . Formalmente:Definición 68 (Producto cartesiano)   .
Notación: .
Ejemplo 69 (Ejemplos de producto cartesiano)   A continuación unos ejemplos del producto cartesiano:
* Si y , entonces . tiene 2 elementos, tiene 3, y tiene (de ahí la palabra ``producto'' en la definición).
* Si , entonces es llamado el plano cartesiano. Las caricaturas y demás objetos bidimensionales viven en : un círculo no es otra cosa quecierto subconjunto de (dé un ejemplo). Nosotros, los seres tridimensionales, vivimos en ( para abreviar).
* , sin importar qué conjunto sea (¿por qué?).
Lema 70 (Algunas propiedades del producto cartesiano)  
1. .
2. Para conjuntos no vacíos, si y sólo si .
3. Para conjuntos no vacíos, si y sólo si
4. .
5. .
La prueba del anterior lema es dejada como ejercicio.Así como hemos definido un par ordenado, podemos definir una -tupla ordenada ( natural positivo) como un objeto tal que:
si y sólo si para todo , .
La definición de una -tupla es recursiva. Esto es, para definir una tupla recurrimos a la definición de una -tupla:
Definición 71   Para natural positivo, definimos recursivamente la -tupla así:
* Para , .
* Para , .
* Para , .Por ejemplo, . Como el lector se dará cuenta, toda -tupla () es un par ordenado! En el ejemplo, la -tupla es el par ordenado cuyas coordenadas son y . Y similarmente, la -tupla es el par ordenado cuyas coordenadas son y .
Similarmente podemos generalizar el producto cartesiano y definir el producto de conjuntos así:

Cuando hayamos visto la noción de función veremos cómo podemos definir el...