El Mejor

Primer Parcial - 2012 - duraci´n 3:30 horas o
Luis Cardon October 12, 2012

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Problema 1

Resuelva la ecuaci´n x2 − 5 = 0 (raiz α = 2.2362) mediante el m´todo de aproximaciones sucesivas. o e

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Problema 1

Obtenga por el m´todo de Newton Raphson la unica raiz de la ecuaci´n en el intervalo (−1, 0): e ´ o f (x) = x + cos(x)e−Bx con B = 1 Ayuda: El algoritmo de Newton Raphson esxn+1 = xn − f (xn ) f ′ (xn ) (2)
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(1)

Problema 2
Una esfera de cobre de D = 0.1m de di´metro se encuentra sumergida en un recipiente de agua que tiene cuatro a veces el volumen de la esfera. La esfera, inicialmente m´s caliente que el agua, pierde calor por convecci´n y se a o enfr´ mientras que el agua se calienta. ıa, La temperatura inicial de la esfera es Tcu = 100C y la temperaturainicial del agua es Tagua = 20C. La ecuaci´n que rige la evoluci´n de la temperatura de la esfera al fluido est´ dada por o o a dTcu hA (Tcu − Tagua ) =− dt ρcpcu Vcu mientras que la ecuaci´n que rige la evoluci´n de la temperatura del agua es o o hA dTagua (Tagua − Tcu ) =− dt ρcpagua Vagua Donde h es el coeficiente de transferencia de calor por convecci´n, unico para las dos ecuaciones. o ´ Elcoeficiente h, dado m´s abajo, y los siguientes par´metros son datos o se pueden calcular a partir de ellos. El ´rea a a a de la esfera, A = 4π(D/2)2 , el volumen de la esfera Vcu = 4/3π(D/2)3 , la densidad de la esfera ρcu = 8960kg/m3, el calor espec´ ıfico de la esfera, cpcu = 385J/kgC, la densidad del agua ρagua = 1000kg/m3, el calor espec´ ıfico del agua cpagua = 4181J/kgC. Consigna: obtenga y grafique laevoluci´n de la temperatura de la esfera y del agua en los siguientes o casos, aplique el m´todo de Euler: e (4) (3)

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100 90 80 70 T, C 60 50 40 30 20 0

”dat” using 1:2 ”dat” using 1:3

5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 t, seg

Figure 1: Evoluci´n de la temperatura de la esfera y del agua. Elcoeficiente convectivo, puesto arbitrariamente, o es muy bajo, y el estado estacionario demora mucho m´s de los que es f´ a ısicamente realista: varias horas, O(10), seg´n como se defina pr´cticamente que aquel fue alcanzado. u a

Caso 1
El coeficiente de transferencia de calor es h = 2W/m2 K.

Caso 2
Se sabe que h no es constante sino que depende de di´metro de la esfera D, de ∆T = Tcu − Tagua y de otrosa par´metros f´ a ısicos de la siguiente manera 0.589Ra1/4 hD =2+ k [1 + (0.469/P r)9/16 ]4/9 (5)

donde k es la conductividad del agua (k = 0.98W/mC), P r es el n´mero de Prandlt (adimensional) del agua que u puede suponer igual a P r = 7 y Ra en el n´mero de Rayleigh (adimensional) que se calcula como u Ra = con gβ 3 D ∆T αν (6) (7)

gβ = 14.45 × 103 K −1 cm−3 αν Cuidado con las unidades,observe que para calcular Ra, D debe estar en cm.

Problema 3
La misma esfera del caso anterior se encuentra sumergida en un recipiente de agua muy grande, de manera que puede suponerse que la temperatura del agua permanece constante. La temperatura inicial de la esfera es Tcu = 100C y la temperatura inicial del agua es Tagua = 20C. En tal caso, solo hace falta la ecuaci´n que rige la evoluci´nde la temperatura de la esfera: o o dTcu hA (Tcu − Tagua ) =− dt ρcpcu Vcu Use los mismos par´metros f´ a ısicos que en el problema anterior, caso 1. Consigna: (8)

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• calcule y grafique la evoluci´n de la temperatura de la esfera con el m´todo de Euler y comp´rela con el o e a m´todo de Runge Kutta de tercer orden. e • Piense ent´rminos f´ e ısicos y compare estos resultados con los que se obtienen adecuando a la presente situaci´n o el modelo del problema 2, caso 1. Unifique los calculos en un solo programa para poder archivar los resultados. Ayuda: El algoritmo del m´todo de Runge-Kutta de 3er orden es el siguiente: e ym+1 = ym + 1 3 k1 + k3 4 4 (9) (10) k1 ) 3 2k2 ) 3 (11) (12)

k1 = hf (xm , ym ) h , ym + 3 2h , ym...