EL METODO SIMPLEX

EL METODO SIMPLEX

El Método Símplex como herramienta de programación lineal fue desarrollado para la época de los años cuarenta por George Dantzing, un joven matemático. El método constituye una forma sistemática y de búsqueda intensiva a través de todas las posibles soluciones para obtener una solución óptima. Ello resulta de gran utilidad debido a su eficiencia. Además es fácilprogramarlo en una computadora. En contraste con el análisis gráfico, este método permite el uso de muchas variables. También permite la aplicación de cantidades de restricciones lineales con signos; mayores e igual, menores e igual y de igualdad.
En comparación con el método gráfico, el método símplex tiene como punto de partida el origen siendo este la solución inicial al problema. El método pruebatodos los puntos extremos gráficos aunque no necesariamente se detiene en todos los vértices. Por otro lado utiliza el concepto de álgebra de matrices en una serie de tablones.
Luego de formular el problema procedemos a trabajar primero con las restricciones y luego con la función objetivo. Comenzamos cambiando los signos de las restricciones de desigualdades a igualdades. El método símplex requierela conversión de las restricciones con signos de desiguales a igualdades estrictas. Esto se debe a que el método usa álgebra de matrices en donde todas las relaciones matemáticas serán a base de ecuaciones lineales y que a su vez deben contener todas las variables. Se llama a este procedimiento como aumento de las restricciones y de la función objetivo.
El aumento de las restricciones y de lafunción objetivo surge porque el método símplex comienza por definición en el origen es decir en el punto (0,0) y de este punto al valor de las restricciones existe una diferencia. Esta diferencia se conoce como holgura y por cada restricción que tenga el problema tendremos una o más variables las cuales el método tomará en consideración. La variable de holgura o "Slack" representa recursos noutilizados o recursos disponibles y no producen ganancia alguna porque se relacionan con los recursos por lo tanto serán añadidas a la función objetivo y sus coeficientes serán 0 porque estas no aportan a la ganancia. Para aquellas variables símplex que no aparecen en una ecuación se le añaden coeficientes de 0. Esto no afecta a las ecuaciones a las cuales se les agregan los coeficientes.
Elmétodo símplex comienza con una solución inicial básica en donde todas las variables reales Xj son cero. Esta solución siempre produce una ganancia de 0 y valores de las variables de holgura iguales al valor de las constantes que aparecen al lado derecho. Si se fija en la gráfica anterior la solución inicial símplex será el punto de origen (0,0). Esta es una solución posible pero no es la mejorsolución. Como se indicó anteriormente el método símplex solo considera soluciones que son factibles, es decir no toma en consideración aquellas combinaciones de variables reales que violentan las restricciones ya que el método siempre cumple con estas. El violentar una o más restricciones conlleva la no existencia de una solución y algunos mencionan esta situación como solución o soluciones nofactibles.
Colocamos todos los coeficientes y constantes en un tablón. Esto simplifica el manejo de las ecuaciones y de la función objetivo.

Cj = forma aumentada de los coeficientes de la función objetivo
Ci = coeficientes de las variables básicas
aij = forma aumentada de los coeficientes de las restricciones o tasa de sustitución
bi = valores del lado derecho de las restricciones
z = valor dela función objetivo
Zj = reducción de ganancias, aumento en costos asociados con la introducción de una de sus valores en las columnas respectivas
Zj = Cj - Zj = índice de mejoramiento o renglón de criterio símplex
Ratio = límites introductorios
En suma, con estos parámetros del tablón símplex tenemos dos clases de variables a considerarse, variables básicas y variables no básicas. Por...