el modelo de solow con contaminacion

The Green solow model

Y=F(K,AL) función de producción neoclásica (1)
Z(t)=v(Y(t)) flujo de emisiones en función del tiempo (2)
Z=ФY Ф= emisión por unidad de producto

Podemos dividir el capital en dos :
Kp es el capital productivo que genera contaminación
Ka es el capital de reducción de la contaminación
Entonces
Y=F( Kp; Ka,AL) (3)
Z= Ф (Ka) Y


Otra forma es que el flujo decontaminación sea un input en la función de producción
Y=F(K,AL;BZ) (4) donde el imput aumenta el cambio tecnológico, es decir que las técnicas de producción son menos costosas en termino de capital si se permite mas contaminación
Z=y Ф(z) donde y es la producción potencial
Otra manera es colocar en la función de producción la caluidad medioambiental
Y=F(K;AL;E) (5)
dY/dE>0
como los dañospueden ser asociados a flujos o stock de contaminación, cuando este ultimo es de interés, (P), la acumulación de stock de contaminación se representa por una ecuación de transición:
Ṗ=Z- mP+ h(P) (6)
Donde m es la disminución de la contaminación
H (P) representa un feedbakc no lineal tiene forma de S y la forma funcional mas comuyn es h(P)=P2/(1+P2)
E¨(punto)= R(E)-Z (7) aquí se modelala calidad mediomabiental como un recurso renovable donde R(E) es la fucion de regeneración y Z la reducción de la calidad medioambiental desde el flujo de emisiones


Enviromental pollution en el modelo de solow

Y=F(K;AL)
A¨/A=g tasa exógena de cambio tecnológico
L¨/L=n tasa de población

ḱ= s f(k)-(δ+n+g)k (8)

K/AL=k=K [eˆ-(g+n)t]
Y/AL=y=Y[eˆ-(g+n)t]
A(0)=L(0)=1
Asumiendo qel proceso de producción genera emisiones. Estas emisiones son constantes al nivel Ф. No se toma en cuenta la desutilidad de la contaminación.
La contaminación se acumula
Ṗ= ФY-mP (9)
P/AL=p=P[e-(g+n)t]
En términos percapita la acumulación de contaminación es
ṗ= Фf(k)- (m+g+n)p (10)


partiendo de
ḱ= s f(k)-(δ+n+g)k (8)
La tasa de crecimiento de k=
ḱ /k = s f(k)/k- (δ+n+g)= γk
ḱ= 0en estado esttacionario entonces
s f(k*)=(δ+n+g)k*
k*=s f(k*)/(δ+n+g)
Para este nivel de k* en estado estacionario ḱ /k=0
Producción,consumo y capital crecen a la tasa (n+g)

Partiendo de ṗ= Фf(k)- (m+g+n)p (10)
ṗ=0 en estado estacionario
Фf(k*)= (m+g+n)p*
p*= Фf(k*)/(m+g+n)
la contaminación medaid en unidades físicas P, crece a la tasa (n+g)
cuando n=g= 0 la contaminación se dejade acumular en unidades físicas.
Ademas Y˙ /Y = C˙ /C = K˙ /K = 0
Poniendo el modelo en función de una cobb Douglas tenemos
Y=F(K;AL)=Ka AL1-a
En términos percapita y= ka
ḱ= s f(k)-(δ+n+g)k
ḱ= s ka -(δ+n+g)k
ḱ=0 entonces s ka =(δ+n+g)k
s/(δ+n+g)=k1-a
[s/(δ+n+g)]1/1-a=k*
ḱ/k= s ka-1-(δ+n+g)
contaminacion
Ṗ= ФY-mP
Per capita
ṗ= Фf(k)- (m+g+n)p
ṗ=Ф ka-(m+g+n)p
en estadoestacionario ṗ=0 entonces
Ф ka)*=(m+g+n)p
Ф [s/(δ+n+g)]1/1-a]a=(m+g+n)p
Ф/(m+g+n) * [s/(δ+n+g)]a/1-a]=p*

La .manera de prevenir la contaminación por acumulación de captal físico es añadir el supuesto de que a medida que la economía crece se adquiere tecnología limpia , esto es la tecnología se vuelve menos contaminatne y la contaminación por unidad de producción cae.
Para esto endogeneizamos elcoeficiente de emisión en términos de intensidad del capital
Ф=Ф(k) con Ф´(k)0

la contaminación puede ser eliminada si asumimos que como k crece, el producto medio y el producto marginal de k esta limitado abajo por (δ+n+g) o
limk—infito [f(k)/k]= limk—infito [f´(k)]=M> (δ+n+g)/s>0
este supuesto viola la condición de INADA lo cual implica que los retornos decrecientes al capital eventualmentecesa.
En este modelo la tasa de crecimiento de estado estacionario de k es positiva, lo cual implica que k crece sin limites. Pero luego limk—infito Ф(k*)f(k*)=0 y ṗ/p= - (m+g+n), lo que implica que la contaminación es eventualmente eliminada.
Colocadno el modelo endogeneizando el coeficiente de contaminación para una Cobb Douglas tenemos
Y=F(K;AL)=Ka AL1-a
En términos percapita y= ka
ḱ= s...