El método de integración por sustitución o cambio de variable:

El método de integración por sustitución o cambio de variable:
Se basa en la derivada de la función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar conuna nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por cambio de variable

1 Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:


Sedespeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2 Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3 Se vuelve a la variable inical:

Ejemplo







Cambios de variables usuales
1.
2.3.
4.
5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.
6. Sies par:

7. Si no es par:


 
 
Integración por sustitución trigonométrica
Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyointegrando contiene una expresión de la forma:
con y
La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es mássencillo.
Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:
a.
El integrando contiene una función de la forma con
Se hace el cambio de variable escribiendo
donde
Si entonces
Además:
pues y comoentonces por lo que
Luego:
Como entonces
Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Ejemplos:
 
1.


Sea con

Luego:Sustituyendo:





Como entonces y
Además por lo que
Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

Por último:



2.

Sea

LuegoSustituyendo



Como entonces por lo que puede utilizarse la siguiente figura para dar el resultado final:
 



 
Luego:

3.

Sea

Además:

Sustituyendo:






4.


Sea...