El numero e

EULER Y EL NUMERO e
1.

Introducci´n o

El n´mero e surge en las matem´ticas quiz´ treinta siglos despu´s que u a a e π; no obstante, se trata de un n´mero que de manera natural se hace presente u en diferentes circunstancias en las matem´ticas. El n´mero e, despu´s de π a u e es el n´mero m´s importante de las matem´ticas. Pero, a diferencia de π, u a a entender esa importancia ya noresulta tan sencillo. El n´mero e, conocido a veces como n´mero de Euler o constante de Napier, u u fue reconocido y utilizado por primera vez por el matem´tico escoc´s John a e Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el c´lculo matem´tico. a a La invenci´n de los logaritmos (hace ya mas de unos tres siglos) abri´ la o o 1 n puerta a e, el numero irracional que es el limite de (1 + n )cuando n tiende a infinito, y desde entonces despert´ la curiosidad de las mentes mas perso picaces, como Newton o Euler, y se gano un lugar privilegiado en el calculo diferencial e integral, entre otras cosas por el hecho de que la exponencial es la unica funci´n cuya derivada es igual a la funci´n original. ´ o o Definir el numero e no es sencillo. Este admite tres representaciones b´sicas, a puedeser representado como el limite de una sucesi´n, una suma infinita y o en t´rminos de ´rea: e a e = l´ n→∞ 1 + ım e=
n=1 1 ∞ n! 1 n n

ees el unico numero tal que ´

1 dt e t

=1

Adem´s el numero e es un numero irracional, por lo que su desarrollo decimal a no se repite y tiene una valor aproximado de 2, 7182818285... e fue conocido por los matem´ticos al menos medio siglo antes de la inavenci´n del calculo, una posible explicaci´n es que el numero e apareciera o o 2

primero en conexi´n con la formula del inter´s compuesto. Alguien tubo que o e haber notada el hecho que, dado un capital inicial C compuesto n veces al a˜o a una tasa de inter´s anual r invertido durante t a˜os, si se permite que n e n n crezca indefinidamente, el monto final de dinero S, obtenido de la formula r S= C(1 + n )nt , parece aproximarse a un cierto limite, para C = 1, r = 1 y t = 1 es casi 2, 718. Este descubrimiento debe haber sorprendido a los matem´ticos del siglo a XV II, para los cuales el concepto de limite aun no era conocido. As´ el ı, verdadero origen del numero e y de la funci´n exponencial bien puede encono trarse en un problema terrenal: la forma en el que el dinero aumenta en el 1tiempo. Sin embargo, otro problema, el ´rea bajo la hip´rbola y = x conduce a e independientemente al mismo numero. El papel de e como la base natural de los logaritmos fue el trabajo de Leonhard Euler en la primera mitad del siglo XV III hizo de la funci´n exponeno cial uno de los protagonistas del calculo. El n´mero e est´ tambi´n presente u a e en el arte y la naturaleza a trav´s de la espirallogar´ e ıtmica que hereda las mismas propiedades de la funci´n exponencial. o

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2.
2.1.

Historia y Datos de e
Historia

La historia de e cubre apenas cuatro siglos, sus or´ ıgenes no son muy claros: parece remontarse al siglo XV I, cuando se observo que la expresi´n o 1 (1 + n )n que aparecen en las formulas de inter´s compuesto tiende a cierto e limite (casi 2, 71828) cuando ncrece. El paso crucial se dio con la invenci´n o del calculo, cuando resulto que la inversa de la funci´n logar´ o ıtmica era igual a su propia derivada. Esto le dio a la vez al numero e y a la funci´n ex un papel o protagonico en el an´lisis. Al rededor de 1750, Euler le permiti´ a la variable x a o tomar valores imaginarios y aun valores complejos, preparando el camino para la teor´ de funciones devariable compleja, con sus importantes propiedades. ıa Un problema importante que surgi´ al estudiarse los n´meros irracionales o u y n´meros irracionales no algebraicos (trascendentales) fue demostrar que e u era trascendental Euler en 1737 demostr´ la irracionalidad de e y e2 o Lambert mostr´ que las funciones ex y tan(x) no pod´ tomar valores o ıan racionales si x era un numero racional...