El Pato Feo

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Matrices * | Matriz inversa Dada una matriz A, ¿Podremos encontrar otra matriz B tal que A·B=B·A=I?
Esta matriz B existe aunque no siempre, de existir se le llama matriz inversa de A y se nota A-1. Para que exista la inversa de A, ésta tiene que ser cuadrada pues de lo contrario no se podría hacer elproducto por la izquierda y por la derecha, luego cuando hablamos de matrices invertibles estamos hablando de matrices cuadradas. Condición necesaria y suficiente para que una matriz sea invertible es que no sea singular, es decir, que su determinante sea no nulo |A| ≠ 0
Cálculo de la matriz inversa

1. Método de Gauss-Jordan
Este método consiste en colocar junto a la matriz de partida (A) lamatriz identidad (I) y hacer operaciones por filas, afectando esas operaciones tanto a A como a I, con el objeto de transformar la matriz A en la matriz identidad, la matriz resultante de las operaciones sobre I es la inversa de A (A-1).
Las operaciones que podemos hacer sobre las filas son:
a) Sustituir una fila por ella multiplicada por una constante, por ejemplo, sustituimos la fila 2 por ellamultiplicada por 3.
b) Permutar dos filas
c) Sustituir una fila por una combinación lineal de ella y otras.

La matriz inversa de A es
2. A través de la matriz de adjuntos
Dada una matriz A, determinamos la matriz de adjuntos de su traspuesta. Si multiplicamos esa matriz por 1/|A| se obtiene la matriz inversa de A. |
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Mediante la matriz adjunta

La matriz inversade una matriz regular     se puede calcular mediante la expresión:

donde     es la matriz adjunta de   .

[editar] Definición de matriz adjunta

La matriz cuyos elementos son los correspondientes adjuntos de los elementos de una matriz cuadrada     se llama matriz adjunta de     y se denota por   .   El elemento en la i-esima fila y j-esima columna de la matriz adjunta de es   ,   eladjunto del elemento de en su fila i-esima y columna j-esima .

[editar] Ejemplo

Los menores complementarios de los elementos de la matriz

son

Los adjuntos de los elementos de     son:

La matriz adjunta de     es

El determinante de lo podemos calcular desarrollando por la primera fila:

Por lo tanto, la matriz inversa de es

Regla de Cramer
Artículo principal: Regla deCramer.
La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles determinados en términos de determinantes y adjuntos dada por:

Donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:

La regla de Cramer da la siguiente solución:

Nota: Cuando en la determinante original det(A) el resultado es 0, elsistema indica múltiples o sin coincidencia.

Sistema de ecuaciones lineales
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En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre uncuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales,análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema...