el perfume

Modelos matem´ticos para el estudio de la
a
activaci´n de la corteza cerebral
o
Juan Alberto Escamilla Reyna
1999

Introducci´n
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La modelaci´n matem´tica, en el ´rea de las neurociencias, ha tenido
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´xito en los distintos niveles de organizaci´n del cerebro, baste recordar uno
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de los ´xitos m´s famosos, el logrado por los neurofisi´logos A. Hodgkin y A.
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Huxley(H-H), que en el a˜o 1952 [57], construyeron un modelo matem´tico
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para explicar la din´mica del potencial de membrana de una neurona, en
a
funci´n de las corrientes i´nicas subyacentes. El modelo se toma todav´
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como ejemplo para la elaboraci´n de modelos “realistas” de neuronas [21],
o
[99], [100].
El modelo de H-H consta de cuatro ecuaciones diferenciales no lineales–otros modelos constan de m´s ecuaciones–. El estudio matem´tico de estos
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modelos es muy complejo y se ha abordado usando diversas herramientas
matem´ticas : m´todos num´ricos, teor´ cualitativa de ecuaciones diferena
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ciales, teor´ de bifurcaciones, m´todos de peque˜o par´metro, etc. [16], [21],
ıa
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[28], [97], [100].
Otros ´xitos famosos, son los logrados en el ´rea de lasredes neuronales,
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desde el trabajo pionero de Mc Culloch-Pitts [80], en el cual se construye
una red neuronal, con neuronas artificiales muy simplificadas, pero basada
en algunas propiedades de las neuronas reales, hasta los trabajos de Hopfield
[59], [60]. Los trabajos de Hopfield han sido muy importantes para el estudio
de la memoria asociativa.
Actualmente, el ´rea de las redesneuronales es muy fruct´
a
ıfera, se desarrolla fundamentalmente en dos l´
ıneas de investigaci´n: la primera, tiene
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como objetivo construir redes neuronales que resuelvan problemas en diversas ´reas, computaci´n, matem´ticas, etc., independientemente de que si
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las propiedades de las neuronas y los par´metros que intervienen en la red
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tienen alguna relaci´n significativa con lasneuronas reales. La segunda, ino
tenta construir redes neuronales “realistas”, que ayuden a explicar fen´menos
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fisiol´gicos reales. Para la primera l´
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ınea de investigaci´n se pueden ver los
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trabajos [10], [12], [43], para la segunda [24], [40], [41], [75].
En esta ´rea de investigaci´n tambi´n se presentan problemas
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matem´ticos complejos que se han abordado con m´todos num´ricos,ecuaa
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ciones diferenciales, teor´ de bifurcaciones y t´cnicas de peque˜o par´metro.
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En el ´rea de la electroencefalograf´ se han elaborado modelos cona
ıa,
siderando al cerebro como un medio conductor de la electricidad, y con
una aproximaci´n cuasi-est´tica, para tratar el problema de localizaci´n de
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I

fuentes, para una distribuci´n de potencial en el cuerocabelludo. Este proo
blema no tiene soluci´n unica y usualmente se agregan hip´tesis, sugeridas
o ´
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por la anatom´ y fisiolog´ del cerebro, a las posibles fuentes que originan
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la distribuci´n de potencial dada sobre el cuero cabelludo. Estos modelos
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plantean problemas matem´ticos que se ubican en el ´rea matem´tica de los
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problemas inversos. Tambi´n se auxilian con losm´todos matem´ticos de la
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teor´ del potencial.
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La principal limitante de los modelos de medio conductor cuasi-est´ticos
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es que no pueden informar sobre el origen fisiol´gico de los patrones tempoo
rales r´
ıtmicos observados en el electroencefalograma.
En cuanto al estudio din´mico de la actividad cortical y su relaci´n con la
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din´mica de los electroencefalogramas(EEG), se han elaborado diversos moa
delos. Estos se pueden clasificar, grosso modo, en modelos locales, modelos
globales y modelos locales-globales.
En los modelos locales se trata de explicar la din´mica de la actividad
a
cortical en funci´n de lo que ocurre a nivel sin´ptico [33], [34], [75], [76], [77],
o
a
[95]. En los modelos globales, se considera que la din´mica de la actividad
a...