EL PRINCIPIO DE INDUCCI N

EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN
Uno de los resultados más importantes en matemáticas para demostrar ciertas afirmaciones en las que intervienen números naturales es el principio de inducción.
El principio de inducción consiste en demostrar que un conjunto de números naturales es inductivo, es decir, que el número 1 pertenece al conjunto y que, si un número natural n cualquiera pertenece al conjunto,entonces el siguiente, n+1, también pertenece al conjunto.
Es decir, un conjunto A de números naturales es inductivo si verifica que:
1∈N
n∈N⇒n+1∈N
El principio de inducción dice que el conjunto N de los números naturales es el conjunto inductivo "más pequeño" que hay. Es decir, que si A es un conjunto inductivo de número reales contenido en N, entonces A=N(en efecto, por ser A inductivo setiene N⊂A, luego A=N).
Ejemplo.
Demostrar, utilizando el principio de inducción, que:
13+23+33+…+n3=(n(n+1)2)2 , ∀n∈N
Resolución.
En este caso el problema consiste en demostrar que el conjunto
A={n∈N : 13+23+33+…+n3=(n(n+1)2)2}
es inductivo, es decir, A=N, con lo que la igualdad pedida se cumplirá para todo número natural.
Comprobemos que el resultado es cierto para n=1.
Por un lado 13=1.
Porotro: (n(n+1)2)2=(1(1+1)2)2=(1⋅22)2=(22)2=12=1.
También se puede comprobar que el resultado es cierto para n=2.
Por un lado: 13+23=1+8=9.
Por otro: (n(n+1)2)2=(2(2+1)2)2=(2⋅32)2=(62)2=32=9.
De la misma manera se podría comprobar que el resultado es cierto para n=3, n=4, etcétera.
Entonces, la resolución quedaría terminada demostrando que si se supone el resultado cierto para n, también lo es para n+1.
Supongamospues que es cierto para n, es decir, que es cierto que 
13+23+33+…+n3=(n(n+1)2)2(1)
La anterior es la llamada hipótesis de inducción.
Tenemos que demostrar, a partir de la certeza de la igualdad anterior, que el resultado es cierto para n+1, es decir que
13+23+33+…+n3+(n+1)3=((n+1)(n+2)2)2(2)
Obsérvese que la igualdad (2) es la igualdad (1) sustituyendo n por n+1.
Veámoslo. Para ello empezaremospor la parte de la izquierda de la igualdad (2) y, utilizando la hipótesis de inducción, intentaremos llegar a la parte de la derecha de la igualdad.
13+23+33+…+n3+(n+1)3=(13+23+33+…+n3)+(n+1)3=
=(n(n+1)2)2+(n+1)3= (∗)
Obsérvese cómo se ha utilizado la hipótesis de inducción, en la que se supone el resultado cierto para n. A continuación desarrollaremos los paréntesis, teniendo en cuenta laspropiedades de las potencias y la igualdades notables.
(∗) =n2(n+1)222+(n+1)3=n2(n2+2n+1)4+n3+3n2+3n+1=
=n4+2n3+n24+n3+3n2+3n+1=n4+2n3+n24+4n3+12n2+12n+44=
=n4+6n3+13n2+12n+44= (∗∗)
Ahora, en esta última expresión, factorizando el polinomio del numerador (utilícese para ello la regla de Ruffini), damos el siguiente paso y prácticamente finalizamos.
(∗∗) =(n+1)2(n+2)24=((n+1)(n+2)2)2a) 1+1+2+22+23+…+2n=2n+1 , ∀n∈N
b) 1+3+5+…+(2n−1)=n2 , ∀n∈N
c) 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6 , ∀n∈N
d) 1⋅2+2⋅3+3⋅4+…+n⋅(n+1)=n(n+1)(n+3)3 , ∀n∈N
e) 11⋅2+12⋅3+13⋅4+…+1n(n+1)=nn+1 , ∀n∈N

I. LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

¿POR QUÉ CAEN LOS CUERPOS Y SE MUEVEN LOS ASTROS?
SEGÚN una famosa leyenda, Isaac Newton, sentado bajo un manzano, meditaba sobre la fuerza que mueve a los astros en el cielo, cuando vio caer una manzana alsuelo. Este suceso tan trivial fue para él la clave del problema que le intrigaba: se dio cuenta de que el movimiento de los cuerpos celestes es regido por la misma fuerza que atrae una manzana al suelo: la fuerza de la gravedad. Newton descubrió que la gravitación es un fenómeno universal que no se restringe a nuestro planeta. Aun siendo poco veraz, esta leyenda ilustra uno de los acontecimientosque señalan el nacimiento de la ciencia moderna: la unión de la física celeste con la física terrestre. Antes de Newton, nadie había sospechado que la gravitación es un fenómeno inherente a todos los cuerpos del Universo. Muy por el contrario, durante la Edad Media y aun hasta tiempos de Newton, se aceptaba el dogma de que los fenómenos terrestres y los fenómenos celestes son de naturaleza...