El problema de Apolonio

EL PROBLEMA DE APOLONIO El problema de Apolonio (Apolonio de Perga, 262-190 a.C.), es el siguiente Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, puntos, rectas o circunferencias, dibujar una circunferencia tangente a las tres.En total hay diez casos 1)Tres puntos 2)Tres rectas 3)Dos puntos y una recta 4)Dos rectas y un punto 5)Dos puntos y una circunferencia 6)Dos circunferencias y unpunto 7)Dos rectas y una circunferencia 8)Dos circunferencias y una recta 9)Un punto, una recta y una circunferencia 10)Tres circunferencias Los dos primeros casos, los ms sencillos, aparecen en el Libro IV de los Elementos de Euclides. Los casos 3, 4, 5, 6, 8 y 9 estn en el Libro I de la obra Tangencias (o Contactos) de Apolonio, mientras el 7 y el 10 ocupan el Libro II de esta obra. TrespuntosEste es el caso ms sencillo del problema de Apolonio Trazar una circunferencia que pase por tres puntos dados.Dicho con otras palabras, consiste en hallar la circunferencia circunscrita a un tringulo. El centro de dicha circunferencia se obtiene fcilmente, como interseccin de las mediatrices de dos de los lados de ese tringulo. INCLUDEPICTURE http//img282.imageshack.us/img282/4602/g524vr.pngMERGEFORMATINET En el caso de que los tres puntos dados estn alineados el problema carece de solucin. Tres RectasEn este caso, el problema de Apolonio consiste en Trazar una circunferencia que sea tangente a tres rectas dadasSupongamos en primer lugar que las tres rectas dadas se cortan dos a dos formando un tringulo. Entonces hay cuatro circunferencias a las tres rectas son las tangentes al tringulo,tres de las cuales son exteriores y una es interior. Para obtenerlas, basta hallar las bisectrices interiores e interiores de los ngulos del tringulo, producindose los circunferencias buscadas en las intersecciones de estas rectas. INCLUDEPICTURE http//img307.imageshack.us/img307/2206/g534tn.png MERGEFORMATINET En el caso de que dos de las rectas dadas sean paralelas y la tercera sea secante aambas, se obtienen dos soluciones trazamos la paralela media a las dos rectas paralelas dadas y hallamos la interseccin de esta paralela con las bisectrices de los ngulos formados con la recta secante. Dos puntos y una rectaEste caso del problema de Apolonio consiste en Dados dos puntos y una recta, hallar una circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la recta.Si los dos puntosdados A y B estn en una recta paralela a la recta dada, el punto de tangencia con la recta se obtendr al cortar con la mediatriz del segmento AB. Ahora slo se trata de hallar la circunferencia que pasa por tres puntos INCLUDEPICTURE http//img347.imageshack.us/img347/2808/g551gj.png MERGEFORMATINET Otra posibilidad es que, siendo los puntos exteriores a la recta dada, estn ambos en el mismo lado yno estn en una paralela a dicha recta INCLUDEPICTURE http//img347.imageshack.us/img347/5821/g561qo.png MERGEFORMATINET Unimos los puntos A y B dados y prolongamos hasta cortar a la recta dada en M. Trazamos la circunferencia con dimetro AB, y seguidamente una tangente a sta desde M. Siendo T el punto de tangencia, con centro M y radio MT trazamos una semicircunferencia que corta a la recta dadaen dos puntos P y Q. Por estos puntos pasan las circunferencias buscadas, habiendo entonces en este caso dos soluciones. Por ltimo, consideremos el caso en el que uno de los dos puntos, digamos B, est en la recta dada. INCLUDEPICTURE http//img347.imageshack.us/img347/4557/g578ja.png MERGEFORMATINET Para obtener el centro de la nica circunferencia posible, hallamos la interseccin de la mediatrizdel segmento AB con la perpendicular a la recta dada trazada por B. Dos rectas y un punto Este caso del problema de Apolonio consiste en que Dadas dos rectas y un punto, hallar una circunferencia que pase el punto y sea tangente a las recta.Si las rectas se cortan y el punto queda comprendido entre ellas, hallaremos la bisectriz del ngulo formado por las rectas y el simtrico A del punto A dado....