el problema de la tangente

IES EL PILES
EL PROBLEMA DE LA TANGENTE
El problema de definir la tangente a una curva y = f ( x) en un punto P ( x0 , y 0 ) ha
llevado al concepto de la derivada de una función en un punto P ( x0 , y 0 ) .
Todos sabemos dibujar la tangente a una curva en un punto, ¿pero como definirla?. Una
forma posible podría ser :”La recta que pasando por el punto y que sólo toca a la curva
en dichopunto”, definición que no se satisface en el siguiente caso:
P

x0

Una manera en que quedaría unívocamente determinada la recta tangente sería
conociendo las coordenadas del punto P ( x0 , y 0 ) y la pendiente de la recta. ¿Cómo
calcular dicha pendiente?
Un ejemplo: ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente en el punto P(2,4) al gráfico de
y = f (x ) = x 2 ?

•

Un método consiste endibujar la parábola y = f ( x ) = x 2 con cuidado y su recta
tangente en (2,4). Aunque el método es razonable, su precisión es escasa, ya que un
pequeño error en el ángulo que la tangente forma con el eje x puede causar un error
grande al estimar la pendiente.
10
8
6
4
2
0
-2

-1

-2 0

1

2

3

4

-4
-6
-8
- 10

•

Escogeremos otro método más seguro. Para empezar,calculemos la pendiente de
una recta secante que aproxime la recta tangente en P(2,4). Para ello tomamos un

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(

)

punto Q cerca del P sobre la curva y = f ( x ) = x 2 , por ejemplo Q 2´1,2´12 , y
calculamos la pendiente de la recta que pasa por P y Q

f (2,1) − f (2) 2,12 − 2 0,41
Su pendiente es: m =
=
=
= 4,1 que sería una
2,1 − 2
2,1 − 2
0,1
aproximaciónde la pendiente de la recta tangente.
Podemos mejorar la estimación considerando el punto Q(2´01,2´012 ) es decir
haciendo que el punto Q sea aún más próximo a P, entonces la estimación de la
pendiente será mejor.
Aún más, consideremos un punto típico Q. Es decir, consideremos la recta que pasa
por P(2,4) y por Q(x, x 2 )cuándo Q es muy próximo a P o lo que es los mismo x es
próximo a 2Esta recta tiene de pendiente
(x − 2 )(x + 2 ) = 4 resultado obtenido
f ( x ) − f ( 2)
x 2 − 22
m = lim
= lim
= lim
x →2
x→2 x − 2
x→2
x−2
x−2
usando las técnicas de límites.
A m = lim
x→2

por: f ´(2)

f ( x ) − f ( 2)
se le llamará derivada de f en x=2 y se representará
x−2

LA VELOCIDAD
Intentemos resolver el problema de calcular la velocidad en un instante dado.

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Una piedra cae s (t ) = 16t 2 cm en t segundos. ¿Cuál es la velocidad después de dos
segundos?
Cómo práctica, hagamos una estimación calculando la velocidad media de la piedra
durante un breve período de tiempo, por ejemplo entre 2 y 2,01 segundos. Al
comienzo de este lapso, la piedra ha caído ya 16 2 2 = 64 cm.- Y al final
16 2,012 = 64,6416 cm. Osea, que durante 0,01 segundosha caido 0,6416 cm. Su

(

()

)

(

)

()

16 2,012 − 16 2 2
= 64,16 cm por
2´01 − 2
segundo, que sería una estimación de la velocidad en el instante t=2 segundos.
Consideremos el intervalo de tiempo [2,t] con t>2. La velocidad media en este
intervalo de tiempo sería:
s (t ) − s (2 ) 16 t 2 − 16 ⋅ 2 2 16(t − 2 )(t + 2 )
vm =
=
=
= 16(t + 2 ) cm por segundo
t −2
t−2
t−2velocidad media en este período ha sido: v[2, 2´01] =

()

Cuando t → 2 , la velocidad media sería la velocidad en el instante t=2:
s (t ) − s (2 )
v(2 ) = lim
= 16(2 + 2 ) = 64 cm por segundo
t →2
t−2
LA DENSIDAD
La densidad es una medidad local de la masa de un material. La densidad se define
masa total
como densidad =
volumen total
La densidad de un objetivo puede variar de unpunto a otro. Por ejemplo, la tierra
tiene mayor densidad cerca de su centro que cerca de su superficie. De hecho, la
densidad media de la tierra es 5,5 gramos por centímetro cúbico, más de cinco veces
la del agua
Problema: La masa de los x centímetros de la izquierda en una barra no homogénea
de 10 cm de longitud es de m(x)= x 2 gramos. ¿Cuál es la densidad ( en gramos por
cm) del...