El Problema Del Consumidor Cuando La Función De Utilidad Es Casi Bernoulli

EL PROBLEMA DEL CONSUMIDOR CUANDO LA FUNCIÓN DE UTILIDAD ES CASI BERNOULLI
Fuente: Introducción a la teoría de la optimización.
Material para la enseñanza de la economía matemática
Autor:Francisco Valdez Núñez

¿Cuál es la problemática general tratada en el texto?
La problemática tratada en el texto es sobre cómo maximizar la función U(x), donde dicha función representa la utilidad que lereporta a un individuo tener x cantidad de oro.
Ux=alog(x)+c
Suponiendo que existe un número finito n de tipos de bienes, las cantidades adquiridas por el individuo de cada uno de estos tipos debienes está representada por el vector de consumo:
x=x1,x2,x3,x4,…, xn
Donde tenemos que cada xi es la cantidad del bien del tipo i.
Por lo tanto, la utilidad generada para este vector está dadapor:
Ux1=a1logx1+c
Ux2=a2logx2+c
.
.
.
Uxn=anlog(xn)+c
La utilidad total que obtiene el individuo al consumir de todos los bienes del vector x es:
Ux=i=1nailog(xi)+c
Las ai corresponden a laproporción fija de la renta que el individuo gasta en el i-ésimo bien.
Entonces la definición de la función del tipo casi Bernoulli es:
Sea U:R+n→R donde R denota el sistema de los reales extendidos.La función de utilidad casi Bernoulli está dada por
Ux=i=1nailog(xi), &x>0-∞, &x0

Donde ai>0, ∀i=1,2,3…,n y además i=1na1=1.
También tenemos una restricción presupuestaria, la cual estableceque el gasto total monetario en los bienes no puede exceder el ingreso monetario del consumidor. Entonces, supongamos un vector de precios
p=(p1,p2,p3,…,pn)
siendo pi el precio unitario del biendel tipo i. También definimos al ingreso monetario del consumidor, en un cierto periodo de tiempo, como r. Entonces la restricción presupuestaria nos dice que el gasto no puede exceder al ingreso, locual se puede ver como:
p∙x≤r
Con p>0 y r>0.
Resumiendo todo lo anterior, la problemática principal del texto es (teniendo en cuenta los datos como son los bienes, los precios, la función de...