El Razonamiento Matema Tico

El Razonamiento Matemático: Argumentación y Demostración
Antonio Codina Sánchez Jose Luis Lupiañez Gómez
INDICE
1. EL LENGUAJE COMÚN, EL LENGUAJE MATEMÁTICO Y EL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO.
2. El RAZONAMIENTO MATEMÁTICO:
DE LA ARGUMENTACIÓN A LA DEMOSTRACIÓN.
3. FUNCIONAMIENTO COGNITIVO EN LA DEDUCCIÓN Y EN LA ARGUMENTACIÓN.
4. UN EJEMPLO: ¿PASAJE DE LA ARGUMENTACIÓN A LA DEMOSTRACIÓN?
5.ESTRUCTURA Y ORGANIZACIÓN DE ARGUMENTACIONES Y DEMOSTRACIONES.
6. COMPARACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE EXPANSIÓN DISCURSIVA DE UNA DEMOSTRACIÓN Y UNA ARGUMENTACIÓN.
7. CONSIDERACIONES EDUCATIVAS.
8. DEMOSTRACIONES CON EL USO DE LA TECNOLOGÍA.
9. ILUSTRACIÓN.
10. BIBLIOGRAFÍA.
PRÓLOGO
El razonamiento es una actividad que adopta multitud de formas, ya que abarca enfoques muy alejados unos deotros. Se puede definir como un esquema organizado de proposiciones que se orienta hacia un enunciado-objetivo, con miras a modificar el valor epistémico, y que por tanto, altera el valor de verdad bajo el cumplimiento de ciertas condiciones.
Las dos características siguientes, son necesarias para que un discurso pueda ser reconocido como razonamiento:
Estar orientado hacia el enunciado-objetivo,es decir, hacia la proposición a justificar.
Estar centrado en el valor lógico o espistémico de esta proposición, y no sobre su contenido.
Precisamente esta segunda propiedad distingue al razonamiento de la explicación: la explicación de una ó más razones para volver comprensible ó entendible un dato, tiene un valor descriptivo, sin valor epistémico; el razonamiento también da razones, pero supapel es el de comunicar la fuerza de argumento a las afirmaciones que se desean justificar.
Uno de los razonamientos que vamos a desarrollar es el de demostración, pero, ¿Qué se entiende por demostración?
Hoy en día, los matemáticos afirman que una demostración no es otra cosa sino aquello que los matemáticos aceptan como demostración; en palabras de N. Balacheff (Acuña, 1996): “prueba es unaexplicación aceptada por una comunidad en un momento dado, [...], y si un enunciado se conoce como verdadero y bien definido, a estas pruebas las llamaremos demostraciones”.
Para ilustrarlo esta opinión, citaremos la conversación entre el Matemático Ideal y un joven estudiante (Davis&Hersh, 1995)1 .
E: Profesor, ¿qué es una demostración?
M.I: Lo que se hace es expresar los axiomas de la teoríaformalizadamente utilizando un alfabeto o lista de símbolos dada. A continuación, se escriben las hipótesis de los teoremas con ese mismo simbolismo y, seguidamente, se muestra que mediante las reglas de la lógica se pueden ir transformando paso a paso las hipótesis hasta alcanzar la conclusión. Eso es una demostración.
E: ¿De verdad? ¡Me sorprende! !He seguido muchos cursos y jamás he visto a nadiehacer eso!.
M.I: !Claro que nadie lo hace! !Se tardaría toda una vida! Basta hacer ver que sería posible hacerlo; con esto es suficiente.
E: Por tanto, ¿Hay que saber mucho de lenguajes y lógicas formales para poder dar una demostración matemática?
M.I. ¡Desde luego que no! Cuanto menos se sepa, mejor. A fin de cuentas, todo eso no son más que sin sentidos abstractos.
E: Entonces profesor, ¿quées de verdad una demostración!
M.I: Bueno, es un razonamiento que convence a quienes conocen bien la cuestión.
Esta polémica también puede observarse en las discusiones que suscitaron casos famosos tales como la demostración de Teorema de los Cuatro Colores por medio de la computadora o del último Teorema de Fermat.
En este documento, tratamos de comparar dos tipos de razonamiento: laargumentación y la demostración, desde el análisis de su funcionamiento cognitivo y del de su estructura y niveles organizativos, así como de la posibilidad de tránsito de la primera a la segunda.
1 Reproducida sólo parcialmente

Por otra parte, recogemos algunas consideraciones relacionadas con aspectos educativos, y finalmente reflexiones acerca de la capacidad de las nuevas tecnologías para desarrollar...