El Rbol De Stern

El árbol de Stern-Brocot y la numerabilidad de los números racionales
Que el conjunto de los números racionales (esto es, las fracciones) es un conjuntonumerable (es decir, que tiene lamisma cantidad de elementos que los números naturales) es un hecho bastante conocido. Pero a pesar de ello hay gente que todavía no llega a asimilarlo, que no es capaz de comprenderlo, que (por decirlo de algunaforma) no se creeque haya tantos números naturales como fracciones. Para todos vosotros: pues es cierto, hay tantos números naturales como fracciones. Y lo vamos a demostrar de una manera muyelegante.

Dados dos números racionales,  y , definimos su mediana como la fracción . Es sencillo demostrar que la mediana de dos números racionales es siempre un número racional que está entre ellos. Porponer un ejemplo, la mediana de  y  es , que es un número racional que está entre  y .

Un detalle: En este post trabajamos en todo momento con fracciones irreducibles. Es decir, fracciones en las quenumerador y denominador no tienen factores comunes.

Partiendo de dos fracciones concretas, y con la ayuda de la mediana, vamos a construir más fracciones. Y vamos a partir de las fracciones  y …

Vale,sí,  no es una fracción, no es un número racional. Seguro que más de uno ha dicho cuando la ha visto:
- ¡Pero si eso es infinito!
Bueno, nos vamos a permitir la licencia de tomar esta expresión comofracción, y además esa idea de que esa expresión es infinito no nos vendrá mal.

…para construir las demás. Si calculamos la mediana de estas dos fracciones obtenemos el número , que por lo que hemosdicho antes está entre las dos fracciones iniciales:

Calculemos ahora las medianas de cada pareja de números consecutivos que llevamos. La mediana de  y  es  y la de  y  es , quedando todos estosnúmeros colocados de la siguiente forma:

Volvamos a hacer lo mismo con cada pareja de números consecutivos de la lista, obteniendo ahora los siguientes números colocados de esta forma:

Coloquemos...