el saber

a
ıa.
ıa
n
ECUACIONES DIFERENCIALES

y =

Matem´ticas Aplicadas a la Biolog´ Mar´ Teresa de Bustos Mu˜oz
a
ıa.
ıa
n
´
MODELIZACION

dy
dx

(VS) Variables Separadas: f (x)dx =g(y)dy
f (x)dx =

g(y)dy

Modelo de Malthus: N (t) = kN (t),

⇒ F (x) = G(y) + k
Modelo Log´
ıstico: N (t) =

(VS) Variables Separables: f1 (x)g1 (y)dx = f2 (x)g2 (y)dy ⇒

f1 (x)
dx
f2 (x)=

g2 (y)
dy.
g1 (y)

Ecuaciones Homog´neas: f (λx, λy) = f (x, y)
e
Cambio: u = y/x ⇒ y = u · x; y = u · x + u
La ecuaci´n se convierte en VS.
o
Reducibles a Homog´neas: (ax + by +c)dx + (px + qy + r)dy = 0
e
Si

a b
es
p q

1) = 0: Las rectas ax + by + c = 0 y px + qy + r = 0 se cortan en el punto (x0 , y0 ).
Se hace el cambio x = x − x0 , y = y − y0 , y se convierte enhomog´nea.
¯
¯
e

K=

N (t0 ) = N0 ⇒ N (t) = N0 ek(t−t0 )

N0 K
, donde
N0 + (K − N0 ) e−rt

N1 (N0 N1 + N1 N2 − 2N0 N2 )
2
N1 − N0 N2

Siempre que N (t0 ) = N0 ,

N (t1 ) = N1 ,r=

1
log
t1

N2 (N1 − N0 )
N0 (N2 − N1 )

N (2t1 ) = N2 .

An´lisis Compartimental Se trata de describir mediante una funci´n x(t) la
a
o
cantidad de una sustancia que est´ presente enun compartimento (lago, tanque,..)
a
en el instante de tiempo t.
Ley de conservaci´n: la tasa de cambio de la sustancia en el compartimento dx
o
dt
ser´ igual a la velocidad de entrada de lasustancia en el compartimento en el
a
instante t menos la velocidad de salida de la misma:
dx
= ventrada − vsalida
dt

2) = 0: Las rectas ax + by + c = 0 y px + qy + r = 0 son paralelas. Se haceel
−a
e
cambio u = ax + by ⇒ y = u−ax ⇒ y = u b , y se convierte en homog´nea.
b
Ley de Newton del Calentamiento y Enfriamiento: “La raz´n de cambio de
o
α
3) A veces se aplica el cambio y = z.
la temperatura de un cuerpo en contacto con otro es proporcional a la diferencia
de temperatura entre ambos”: dT (t) = k (Text − T (t)).
Ecuaciones Lineales: y + f (x)y = g(x)
dt
yG = yH +...