el saber

LA FAMILIA DE LOS NÚMEROS METÁLICOS
Mat. Ménthor Urvina M
Departamento de Matemáticas
Escuela Politécnica Nacional

El presente documento pretende divulgar los resultados interesantes de la matemática, como son los
números metálicos; y su autoria es de la DRA. VERA W. DE SPINADEL; PROFESORA TITULAR
EMERITA; UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES; ARGENTINA
Resumen
En este artículo se presenta a lallamada familia de números metálicos, los que son números irracionales y
aparecen como la solución de ecuaciones cuadráticas. El más importante es el número de oro  . Entre sus
parientes, se encuentran el número de plata, el número de bronce, el número de cobre, el número de
níquel, etc.
Los miembros de esta familia gozan de propiedades matemáticas comunes, como por ejemplo, las
sucesionesnuméricas basadas en los miembros de esta familia, satisfacen propiedades aditivas y
simultáneamente son sucesiones geométricas, por lo que han sido utilizadas con frecuencia como base de
muchos sistemas de proporciones.
1. DESARROLLO EN FRACCIONES CONTINUAS DE LOS NÚMEROS METÁLICOS
La familia de números metálicos (FNM) aparecen como las soluciones positivas de ecuaciones cuadráticas
del tipo:(1.1)
x 2  px  q  0 ,
donde tanto p como q son números naturales.
Las ecuaciones cuadráticas más simples son:

x 2  nx  1  0

(1.2)

x2  x  n  0

donde n es un número natural.
Para el caso n  1 , ambas ecuaciones cuadráticas coinciden con la ecuación x 2  x  1  0 , cuya solución
positiva es el número de oro  .
Para hallar su desarrollo en fracciones continuas, sereescribe la ecuación en la forma
dividiendo por x se tiene:

x  1

x2  x  1 y

1
.
x

Reemplazando iterativamente este valor de x , se encuentra la expresión del número de oro  como un
desarrollo en fracciones continuas.

2

1

  1
1

 1,1,1,...

1
1

1
...

Se obtienen sus parientes, o sea los restantes miembros de la FNM analizando sus desarrollos enfracciones continuas. Si se considera la ecuación cuadrática

x2  2 x  1  0
se prueba fácilmente que su solución positiva es el número de plata

 Ag  1  2

(1.3)

y por sustitución, se obtiene el siguiente desarrollo en fracciones continuas periódico puro

 Ag  2 

1

  2 

1

2

2

1
...

Procediendo de manera análoga con la ecuación cuadrática x 2  3 x 1  0 se obtiene el número de
bronce
(1.4)

 Br 

3  13
 3
2

En resumen, resolviendo ecuaciones cuadráticas del tipo

x 2  nx  1  0
con n entero positivo, se tiene como soluciones positivas aquellos miembros de la FNM cuyos desarrollos
en fracciones continuas son periódicos puros, de la forma
(1.5)

x   n 

Si, en cambio, se buscan soluciones positivas deecuaciones cuadráticas del tipo

x2  x  n  0
con n entero positivo, se obtienen números naturales o bien con aquellos miembros de la FNM cuyos
desarrollos en fracciones continuas son periódicos, de la forma
(1.6)

 m, n1 , n2 ,..., nn 



3

Por ejemplo, si se considera la ecuación cuadrática x 2  x  2  0 , entonces su solución positiva es

x  2 , que posee la siguienteexpresión en fracciones continuas: x   2, 0  . Dicho número entero se
conoce como el número de cobre
(1.7)

 Cu  2

Partiendo de la ecuación cuadrática x 2  x  3  0 , cuya solución positiva es el valor x 

1  13
, se
2

puede relacionar este valor con el número de bronce y escribir:

x

3  13
1  13
1 
2
2

de donde, se obtiene el número de níquel
(1.8)

 Ni 1  13
  2,3,3,...   2,3
2

que es una fracción continua periódica.
Resultados similares se obtienen con diferentes valores de n y entonces se puede mostrar la:
Propiedad no. 1 de los miembros de la familia de números metálicos
Son todos números irracionales cuadráticos positivos.
Observación: En los restantes casos de ecuaciones cuadráticas con coeficientes enteros, se...