El ser humano

nEl ser humao se distingue en Sócrates, por poder dar una respuesta racional a cualquier pregunta racional que se le haga sobre sí mismo.
Ser animado racional. Bajo esta acepción se comprende todo el género humano. Varón, persona de sexo masculino. El que ha llegado a la edad adulta o viril.

Teoría de conjuntos

Diagrama de Venn que muestra un conjunto A contenido en otro conjunto U y sucomplemento

La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.

El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetosno repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no.El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sinembargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.

Notación
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...
Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos.Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...
De esta manera, si es un conjunto, y todos sus elementos, es común escribir:
para definir a tal conjunto A. Esta notación empleada para definir al conjunto A se llama notación por extensión.
Para representar que un elemento pertenece a un conjunto A, escribimos (léase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). Lanegación de se escribe (léase " no pertenece a A").

Propiedades del cardinal de un conjunto
Los conjuntos pueden ser divididos en clases de equivalencia definidas en función de la relación de equivalencia que incluye a un par de conjuntos si y sólo si entre éstos existe una biyección. Cardinalidad de un conjunto sería la clase de equivalencia a la cual éste pertenece. Tener dos conjuntos A,Bcon la misma cardinalidad (o sea, que pertenezcan al mismo cardinal) se denota:
o bien
La existencia de una función inyectiva entre dos conjuntos también define una relación de orden entre sus cardinales; es decir:

La relación excluye la posibilidad que los cardinales sean iguales.
Es posible demostrar que si
y esto implica que
El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmentecomo 0 (cero) y contiene al único conjunto vacío:

El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes son conjuntos infinitos) es el cardinal de los naturales, y se denota usualmente por ω. Se puede también demostrar que existe una función biyectiva entre los ordinales y los cardinales de conjuntos infinitos, tal que preserva el orden en ambos conjuntos (el orden de los ordinalesy el -orden en los cardinales). Esta función, llamada , induce un buen orden en los cardinales, y de aquí proviene la notación para el primer cardinal infinito, para el siguiente, etc.
[editar] Cardinales transfinitos
Artículo principal: Número transfinito
Los números cardinales de algunos conjuntos se representan con símbolos especiales:
* El cardinal de los números reales: ;
* El...