El teorema de fourier

Teoremas de la Transformada y Series de Fourier |
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05/04/2011 |
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Contenidos
El Teorema de Fourier
Serie de Fourier de tiempo Continuo
Ejemplos
Teorema de Fourier
Representación de una señal periódica
Propiedades de la Transformada de Fourier
¿Para qué se aplica el análisis de Fourier?
¿Dónde se aplica el análisis de Fourier?
– Comunicaciones.
– Ingenieríamecánica.
– Ingeniería de control.
– Campos electromagnéticos.
– Procesamiento de señales de audio.
– Procesamiento de imágenes.
– En el área médica.

El Teorema de Fourier
El Teorema de Fourier dice que toda onda compleja periódica se puede representar como la suma de ondas simples, eso es equivalente a decir que podemos construir una onda compleja periódica mediante la suma sucesiva deondas simples. Esto es lo que se conoce como el Teorema de Fourier.

Serie de Fourier de tiempo Continuo
En 1807, Fourier, establece en los trabajos presentados en el instituto de Francia que: cualquier señal periódica puede ser representada por una serie de sumas trigonométricas en senos y cosenos relacionadas armónicamente.
Los argumentos establecidos por Fourier eran imprecisos y en 1829Dirichlet proporcionó las condiciones precisas para que una señal periódica pueda ser representada por una serie de Fourier.
Fourier obtuvo además, una representación para señales no periódicas, no como suma de senoides relacionadas armónicamente, sino como integrales de senoides, las cuales no todas están relacionadas armónicamente. Al igual que las series de Fourier, la integral de Fourier,llamada Transformada de Fourier, es una de las herramientas más poderosas para el análisis de sistemas LTI (Sistema Lineal Invariante en el Tiempo).

Ejemplos.-
Señal 1

Señal 2

Resultado

Señal 1

Señal 2

Señal 3

Resultado

Señal 1

Señal 2

Señal 3

Señal 4

Resultado

En la medida que agregamos más términos (ondas senoidales) nos aproximamos más a la forma de la ondacuadrada.
Teorema de Fourier
La onda cuadrada es una onda compleja que se puede describir como la suma de ondas senoidales. (Teorema de Fourier)
La primera onda senoidal tiene una frecuencia de 200Hz. y recibe el nombre de primera frecuencia componente o "Frecuencia Fundamental", abreviado F0.
La frecuencia fundamental proporciona el tono característico que percibimos cuando escuchamos elsonido complejo periódico .
El resto de las ondas senoidales que hemos sumado sucesivamente para construir la onda cuadrada se denomina armónicos o sobretonos.
Los sobretonos por definición sólo pueden ocurrir como múltiplos enteros de la frecuencia fundamental.
El resto de las ondas senoidales que hemos sumado sucesivamente para construir la onda cuadrada se denomina armónicos o sobretonos.
En elcaso de la onda cuadrada que hemos analizado en detalle tenemos lo siguiente:
La frecuencia Fundamental F0=200 Hz.
Luego los armónicos sólo pueden ocurrir en las frecuencias que son múltiplos enteros de 200 Hz, es decir, 400 Hz, 600 Hz, 800 Hz, 1000 Hz, etc.
Sin embargo, la onda cuadrada es un caso especial en la cual los armónicos ocurren en las frecuencias que son múltiplos pares de F0.Si observamos cuidadosamente la figura que representa la forma de la onda cuadrada, podemos notar que los armónicos que son múltiplos pares de F0 ( 2F0, 4F0, 6F0,...) tienen una amplitud equivalente a cero y, por lo tanto, no contribuyen para nada a la forma de la onda cuadrada.
Para construir la onda cuadrada sólo se necesitan los armónicos que son múltiplos impares de F0, es decir, 3F0,5F0,7F0,...,etc.

Fo= 200 Hz.
Primer Armónico =3 x 200 = 600 Hz.
Segundo Armónico = 5 x 200 = 1000Hz.

Frecuencia Fundamental o Primer Armónico F0 = 200 Hz.
Segundo Armónico = 2 x F0 ( no contribuye a la forma de la onda )
Tercer Armónico = 3 x 200 = 600 Hz.
Cuarto Armónico = 4 x F0 ( no contribuye a la forma de la onda )
Quinto Armónico = 5 x 200 = 1000 Hz.
Sexto Armónico = 6 x F0 ( no...