EL TEOREMA DE PITAGORAS

EL TEOREMA DE PITAGORAS



El teorema de Pitágoras o de la escuela de Pitágoras se refiere a los lados de un triángulo rectángulo. En efecto, los lados tiene nombres especiales: Los catetos, lados que conforman el ángulo recto y la hipotenusa, el teorema establece una relación que permite calcular la longitud de la hipotenusa cuando se conocen las longitudes de los catetos.

En este orden deideas, el teorema de Pitágoras es tal vez la proposición más estudiada por los matemáticos profesionales y aficionados.

















Existen en la actualidad más de 1000 demostraciones.

En este acápite, vamos a mostrar algunas de las demostraciones por su valor histórico y su originalidad.

Veamos:

1. Demostración geométrica

(Tomado del libro “de Pitágoras a Einstein de K.O. FrieDrichs)




La construcción geométrica en la figura 2, determina dos rectángulos a y b. El área del cuadrado mayor de lado a + b. El área de este cuadrado es igual a la suma de las áreas de las áreas a2 y b2 (los cuadrados de lados a y b correspondientes) mas el duplo del área correspondiente al rectángulo a y b. De otra parte, cada rectángulo puede ser considerado por dos triángulos rectángulosiguales, de catetos a y b. altura, trasladar esos 4 triángulos al cuadrado mayor de la figura 2, de manera que los ángulos rectos coincidan con los del cuadrado mayor, con la condición que el cateto menor esté dirigido a la izquierda y el mayor hacia la derecha, la figura limitada por la hipotenusa. Es un cuadrilátero cuyos cuatro lados tienen la misma longitud C. de hecho se trata de uncuadrado. En efecto, en el punto de cada lado del cuadrado mayor donde coinciden los vértices de dos triángulos se forman ángulos que suman 180o. Dos ángulos son complementarios por oponerse a los catetos a y b respectivamente de triángulos rectángulos congruentes. En consecuencia, el tercer ángulo (900) es recto. En esta forma se ha conseguido que el cuadrado mayor, descompuesto en la figura 1en dos cuadrados, a2 y b2 y 4 triángulos rectángulos de catetos a y b que aparecen también en la figura 2 descompuesto por un cuadrado de área C2 en los mismos 4 triángulos mencionados si se eliminan los cuatros triángulos iguales, se puede concluir



2. Demostración con recortes de papel

Esta genial demostración que utiliza recortes de papel fue ideada por el matemático inglés HENRY PERIGAL(1801-1898) veamos su demostración.

1) Se dibuja triángulo rectángulo.
2) Se construye cuadrado sobre cada uno de los lados del rectángulo.
3) Se determina el punto de corte (p) de las distancias del cuadrado del lado b.
4) Se traza una línea paralela a la hipotenusa que pase por el punto p.
5) Por este punto se traza una perpendicular a la recta anterior.
6) Se corta el cuadrado de lado a ylas cuatro regiones del cuadrado de lado b.
7) Con estas piezas se dispone de tal manera que cubra exactamente el cuadrado de lado c.





3. DEMOSTRACION DEL EX PRESIDENTE ESTADOUNIDENSE J. A GARFIEL

Para esta demostración Garfiel dispuso dos triángulos iguales de la siguiente manera. Después unió los puntos P y Q, formándose un trapecio cuya área viene dada por:De otro lado el área de trapecio es igual a la suma de las áreas de los

tres triángulos rectángulos que lo forman. En efecto.



Igualando y ,

Multiplicando se obtiene:




4. EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y LA LITERATURA

Tomado del libro: “Enseñanza de la comprensión lectora” cuyos autoresson los hermanos Alcides y Carlos Parra Rojas.

EL DRAMA

Había una vez un triángulo con dos catetos que se enamoraron de la misma hipotenusa, como ella no se decidía a darle el sí a uno para no ofender al otro, ni al otro para no ofender al uno, los catetos, los catetos se retaron a duelo. Dispararon al unísono sus revólveres y, como los dos tenían excelente puntería, ambos dieron en el blanco....