El Teorema Del Coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
Teorema del coseno
Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos aestos ángulos entonces:

En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores.



Historia
Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométricade la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.

«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto alángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso».
Euclides, Elementos.
Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:


Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.

Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani
Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricasintroducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.
El teorema y sus aplicaciones[editar]
El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de Pitágoras generalizado, ya que el teorema de Pitágoras es un caso particular: cuando el ángulo es recto o, dicho deotro modo, cuando , el teorema del coseno se reduce a:

que es precisamente la formulación del teorema de Pitágoras.


Fig. 3 - Utilización del teorema del coseno: ángulo o lado desconocido.
El teorema se utiliza en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, y saber determinar:
el tercer lado de un triángulo cuando conocemos un ángulo y los lados adyacentes:
.
los ángulos de un triángulocuando conocemos los tres lados:
.
Estas fórmulas son difíciles de aplicar en el caso de mediciones de triángulos muy agudos utilizando métodos simples, es decir, cuando el lado c es muy pequeño respecto los lados a y b —o su equivalente, cuando el ángulo γ es muy pequeño.
Existe un corolario del teorema del coseno para el caso de dos triángulos semejantes ABC y A'B'C'
.
Demostraciones[editar]
Pordesglose de áreas[editar]


Fig. 4a - Demostración del teorema del coseno por desglose de áreas, cuando el ángulo es agudo.
Un cierto número de las demostraciones del teorema hacen intervenir un cálculo de áreas. Conviene en efecto remarcar que
a2, b2, c2 son las áreas de los cuadrados de lados respectivos a, b, c.
ab cos(γ) es el área de un paralelogramo de lados a y b que forman un ángulo de90°-γ (para una prueba, ver el apéndice).
Dado que cos(γ) cambia de signo dependiendo de si γ es mayor o menor a 90°, se hace necesario dividir la prueba en dos casos.
La figura 4a (contigua) divide un heptágono de dos maneras diferentes para demostrar el teorema del coseno en el caso de un ángulo agudo. La división es la siguiente:
En verde, las áreas a2, b2 la izquierda, y el área , c2 a la...