El Travajo

sideremos una partícula P sobre la que actúa una fuerza F, función de la posición de la partícula en el espacio, esto es F=F\mathbf r y sea \mathrm d \mathbf r un desplazamiento elemental(infinitesimal) experimentado por la partícula durante un intervalo de tiempo \mathrm d t. Llamamos trabajo elemental, \mathrm d W, de la fuerza \mathbf F durante el desplazamiento elemental \mathrm d \mathbf ral producto escalar \ F \cdot \mathrm d \mathbf r; esto es,

\mathrm d W=\mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf r \,

Si representamos por \mathrm d s la longitud de arco (medido sobre latrayectoria de la partícula) en el desplazamiento elemental, esto es \mathrm d s = |\mathrm d \mathbf r| , entonces el vector tangente a la trayectoria viene dado por \mathbf e_{\text{t}} = \mathrm d \mathbf r/ \mathrm d s y podemos escribir la expresión anterior en la forma

\mathrm d W=\mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf r = \mathbf F \cdot \mathbf e_{\text{t}} \mathrm d s = (F \cos\theta )\mathrm ds = F_{\text{s}} \mathrm d s \,

donde \theta representa el ángulo determinado por los vectores \mathrm d \mathbf F y \mathbf e_{\text{t}} y F_{\text{s}} es la componente de la fuerza F en ladirección del desplazamiento elemental \mathrm d \mathbf r.

El trabajo realizado por la fuerza \mathbf F durante un desplazamiento elemental de la partícula sobre la que está aplicada es una magnitudescalar, que podrá ser positiva, nula o negativa, según que el ángulo \theta sea agudo, recto u obtuso.

Si la partícula P recorre una cierta trayectoria en el espacio, su desplazamiento total entredos posiciones A y B puede considerarse como el resultado de sumar infinitos desplazamientos elementales \mathrm d \mathbf r y el trabajo total realizado por la fuerza \mathbf F en ese desplazamientoserá la suma de todos esos trabajos elementales; o sea

W_{\text{AB}}=\int_{\text{A}}^{\text{B}} \mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf r \,

Esto es, el trabajo viene dado por la integral...