El volumen de la esfera
Páginas: 2 (263 palabras)
Publicado: 12 de septiembre de 2015
El volumen de la esfera
Como todo el mundo sabe (o debería saber ya que se estudia en el colegio) el volumen de una esfera de radio R es:
Esta fórmulase debe al genial Arquímedes, y fue uno de sus grandes descubrimientos y del cual estaba muy orgulloso. Vamos a ver cómo lo consiguió.
Arquímedespartió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radio también R:
Cortó las tres figurascon un plano paralelo a la base del cilindro (que quedara a distancia d de la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo serían las secciones queeste plano crearía en cada una de las figuras:
Cilindro: circunferencia de radio R.
Semiesfera: también una circunferencia pero de distinto radio,digamos r. Mirando la siguiente figura
y usando el teorema de Pitágoras tenemos que r2+d2=R2.
Cono: también una circunferencia, pero ahora, como podemos seve aquí
el radio es d.
Por tanto tenemos:
Sección cilindro=πR2=π(r2+d2)=πr2+πd2=Sección semiesfera+Sección cono
Las secciones de cada figura son comorebanadas de las figuras:
Si para cada rebanada se tiene la relación anterior parace bastante claro que los volúmenes siguen la misma relación. Es decir:Volumen cilindro=Volumen semiesfera+Volumen cono
Pero Arquímedes conocía los volúmenes del cilindro y del cono:
Por tanto:
De donde multiplicando por 2obtenemos el volumen de una esfera de radio R:
Tanto admiraba Arquímedes este descubrimiento que mandó inscribir en su tumba la siguiente imagen:
Como todo el mundo sabe (o debería saber ya que se estudia en el colegio) el volumen de una esfera de radio R es:
Esta fórmulase debe al genial Arquímedes, y fue uno de sus grandes descubrimientos y del cual estaba muy orgulloso. Vamos a ver cómo lo consiguió.
Arquímedespartió de una semiesfera de radio R y colocó a su lado un cono recto y un cilindro circular recto, ambos con base de radio también R:
Cortó las tres figurascon un plano paralelo a la base del cilindro (que quedara a distancia d de la parte superior de las tres figuras) y estudió cómo serían las secciones queeste plano crearía en cada una de las figuras:
Cilindro: circunferencia de radio R.
Semiesfera: también una circunferencia pero de distinto radio,digamos r. Mirando la siguiente figura
y usando el teorema de Pitágoras tenemos que r2+d2=R2.
Cono: también una circunferencia, pero ahora, como podemos seve aquí
el radio es d.
Por tanto tenemos:
Sección cilindro=πR2=π(r2+d2)=πr2+πd2=Sección semiesfera+Sección cono
Las secciones de cada figura son comorebanadas de las figuras:
Si para cada rebanada se tiene la relación anterior parace bastante claro que los volúmenes siguen la misma relación. Es decir:Volumen cilindro=Volumen semiesfera+Volumen cono
Pero Arquímedes conocía los volúmenes del cilindro y del cono:
Por tanto:
De donde multiplicando por 2obtenemos el volumen de una esfera de radio R:
Tanto admiraba Arquímedes este descubrimiento que mandó inscribir en su tumba la siguiente imagen:
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