El C Lculo Diferencial De Morris

‘El Cálculo Diferencial’ de Morris Kline.
Capítulo 18 de “Mathematics: A Cultural Approach”. Traducción del Club de Matemáticas del CECyT Wilfrido Massieu.

18-1 Introducción
Las ideas matemáticas expuestas en los capítulos anteriores, aritmética, álgebra, geometría euclidiana, trigonometría, geometría analítica y los diversos tipos de funciones, comprenden una cantidad considerable dematemáticas. Por supuesto, el desarrollo de cada una de estas ideas es mucho más extenso de lo que hemos indicado o de lo que se suele cubrir en los cursos escolares Pero el siglo XVII, que inspiró e inició el movimiento científico moderno, proporcionó los problemas y las sugerencias para nuevas ramas de la matemática que sobrepasan en extensión, profundidad y potencia a las matemáticas hasta aquíexaminadas.
La creación matemática más significativa de ese siglo, y que ha probado ser la más fructífera para el desarrollo de la matemática y ciencia modernas, es el cálculo. Como la geometría euclidiana, es un hito del pensamiento humano.
No es posible ofrecer, en pocas palabras, una descripción clara de la idea básica del cálculo. Podemos decir, como una primera aproximación, que trata de la razónde cambio instantánea de una variable con respecto a otra en contraste con la razón de cambio promedio; por ejemplo, para un objeto en movimiento se refiere a la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo, en un instante dado. Esta breve descripción de la idea básica del cálculo es, por supuesto, vaga y ciertamente no da una idea de su poder de aplicación.
Para lograr una comprensióncabal es preciso examinar estas cuestiones en detalle y proseguir con ilustraciones concretas.

18-2 Los problemas que condujeron al cálculo.
Los matemáticos del siglo XVII que desarrollaron gradualmente las ideas y procesos que ahora comprende el cálculo se vieron acosados por varios problemas. Hemos visto que el siglo XVII se ocupaba principalmente del estudio del movimiento, el movimiento deobjetos en, o cerca, de la tierra y el movimiento de los cuerpos celestes. En este estudio, el problema de la determinación de la velocidad y la aceleración de los cuerpos en movimiento es de mucha importancia. La velocidad es la razón a la que la distancia cambia con el tiempo, pero si un objeto se mueve con velocidad variable, entonces, para determinar su velocidad, es preciso calcular la razónde cambio de la distancia con respecto al tiempo en cualquier instante, o sea su velocidad instantánea. Las mismas observaciones se aplican a la aceleración. Debemos ver que la determinación de tales razones instantáneas presenta un nuevo tipo de dificultad. Es verdad que hemos determinado y trabajado con la velocidad y la aceleración de cuerpos que caen pero se trataba de movimientos simples yasí evitamos la dificultad esencial. El problema deja de ser simple cuando, por ejemplo, se busca la velocidad y la aceleración de un planeta desplazándose sobre una trayectoria elíptica.
El problema inverso es igualmente importante. Supóngase que se conoce, la aceleración de un cuerpo en movimiento en cada instante. ¿Cómo se encuentran la velocidad y la distancia recorrida en cualquier instante?Cuando la aceleración es constante, se puede multiplicar la aceleración por el tiempo recorrido y obtener la velocidad alcanzada, pero este procedimiento no da resultados correctos cuando la aceleración es variable.
Otro problema del movimiento consiste en determinar la dirección en la que un objeto se mueve en cualquier instante de su recorrido. De la dirección de un proyectil depende que dé enel blanco. Además, la dirección en la que se dispara un proyectil determina las componentes horizontal y vertical de su velocidad. De aquí que se desee conocer la dirección en la que un objeto se mueve. Generalmente la dirección varía de un instante a otro y en esto radica la dificultad.
El tercer problema consistía en encontrar los valores máximo y mínimo de una función. Cuando se dispara una...