el x de la sociedad





Soluci´on de la ecuaci´on de onda como un problema de valores iniciales usando
diferencias finitas

F.   S.   Guzm´an1
1 Instituto  de  F´ısica  y  Matem´aticas,  Universidad  Michoacana  de  San  Nicol´as  de  Hidalgo.   Edificio  C-3,
Cd. Universitaria,  58040  Morelia,  Michoac´an,  M´exico.
(Dated:  June 29, 2009)Se  presenta  la  soluci´on  de  la  ecuaci´on  de  onda  como  ejemplo  paradigm´atico  de  la  soluci´on  de
problemas  de  valores  iniciales  con  condiciones  de  frontera  usando  la  aproximaci´on  de  diferencias
finitas.  Primero  se  desarrolla  una soluci´on  elemental  y  una discretizaci´on  directa  a manera  de in-
troducci´on.   Posteriormente  se  resuelve  la  ecuaci´on  de  onda  como  un  sistema  de  primer  orden,  seestudia la hiperbolicidad  del sistema de ecuaciones resultante, se calculan los modos y velocidades
caracter´ısticas del sistema y se imponen condiciones de frontera en t´erminos de las variables carac-
ter´ısticas.  En este caso se adopta el m´etodo de l´ıneas como esquema de evoluci´on.  Adem´as se hace
especial ´enfasis  en  que los  resultados  num´ericos  necesitan  un  criterio  de  validez.   En  el  caso  de  laaproximaci´on con diferencias finitas de una ecuaci´on diferencial parcial se presenta la convergencia a
una soluci´on correcta en el l´ımite continuo.  Finalmente, se espera que este manuscrito sirva de gu´ıa
para la correcta soluci´on de problemas de valores iniciales con condiciones de frontera en general.
PACS numbers:En este trabajo se presenta la soluci´on de la ecuaci´on de onda como la soluci´on de un problema de valores iniciales
con  condiciones  de  frontera  usando  una  aproximaci´on en  diferencias  finitas.  Se  consider  dicho  caso  como  el  ejemplo
emblem´atico de la soluci´on de problemas de evoluci´on de sistemas hiperb´olicos.
En parte, la motivaci´on para proceder de esta manera es que conviene contar con un c´odigo computacional simple quefunciona, que es capaz de reproducir los resultados en este art´ıculo y despu´es ser´a simple aplicar las ideas aprendidas
en problemas m´as complicados relacionados con la soluci´on de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) asociadas con
problemas de valores iniciales.
Hay distintos tipos de m´etodos num´ericos usados para resolver sistemas de EDPs, por ejemplo la aproximaci´on delos  m´etodos  espectrales  supone  que  las  funciones  involucradas  en  un  sistema  de  EDPs  puede  expanderse  como  una
serie de funciones ortogonales en un dominio dado; entonces las condiciones de ortogonalidad de la base y las relaciones
de  recurrencia  de  las  funciones  base  se  utilizan  para  reducir  el  sistema  a  un  sistema  m´as  simple  de  ecuaciones  para
los coeficientes de la expansi´on.En el presente caso se utiliza una aproximaci´on distinta, basada en la discretizaci´on del dominio en el que se define
el  sistema  de  EDPs,  conocida  como  aproximaci´on  en  diferencias  finitas.   Adem´as  de  presentar  esta  herramienta  se
muestra el tipo de pruebas que debe cumplir la soluci´on num´erica de EDPs.  El caso de la ecuaci´on de onda se estudiade  dos  maneras,  i)  la  primera  utilizando  una  discretizaci´on  simple  que  usa  tres  niveles  temporales,  con  la  cual  se
ilustra el funcionamiento de la aproximaci´on en diferencias finitas, y ii) la  segunda, en la que la  ecuaci´on de onda se
descompone  en  un  sistema  de  ecuaciones  de  primer  orden  en  el  espacio  y  en  el  tiempo,  cuya  soluci´on  se  construyeutilizando  el  m´etodo  de  l´ıneas  con  dos  niveles  temporales.   Este  segundo  caso  adem´as  se  resuelve  para  sistemas  de
coordenadas espacio-temporales generales, se estudia la hiperbolicidad del sistema de ecuaciones de primer orden, se
construyen  las  variables  caracter´ısticas  y  las  velocidades  caracter´ısticas  de  las  variables  involucradas  y  se  imponen...