El

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la regla de la cadena.

El método se basa en identificar una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
Pasos para integrar por sustitución

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:


Se despeja u y dx, sutituyendo en laintegral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, procedemos a integrar:

3º Se vuelve a la variable inical:

Ejercicios































Integración por cambio de variable (o sustitución)
 
Este método consiste en transformar la integral dada en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general,la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.
 
Se comenzará por estudiar aquellas integrales que son casi inmediatas.
 

 

 
Si en lugar de x se tuviese una función u(x), x  u(x)  u(x)m , la regla de la cadena

 
Por tanto,
                                
 
Como se ve, se ha escrito u en lugar de u(x) por simplificar la notación.

Ejercicio: cálculo de integralesinmediatas por cambio de variable


 
Resolución:
 

 

 
 

 
Resolución:
 


 Sin embargo, en la integral no se tiene 2x sino x. Este contratiempo se  
por la constante (en este caso 2) que falta.
 

                     
 

 
Resolución:
 

 
        
 
 

 
Resolución:
 

  

 
 Se multiplica y se divide por 3:
 
        
                          
 

 

 
Si en lugar de x se tuviese una función de x, u(x), la derivada de ln | u(x) |, por la regla de

 
                                           
 
Ejercicio:

 
Resolución:
 

 
 Se multiplica y se divide por 6:
 

 
 

 
Resolución:
 

 
Por tanto,
 
        
 
 

 
        
 

        
 

La derivada de ex es lapropia función ex . Si en lugar de x se tuviese una función
u( x ), la derivada de eu( x ) por la regla de la cadena es eu( x ) · u' ( x ).
 
Por consiguiente,
                                           


I n t e g r a c i ó n   p o r   s u s t i t u c i ó n
En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio devariable adecuado; este procedimiento se conoce como integración por sustitución.
Ejercicios resueltos
  En los siguientes ejercicios realice la integral que se indica:
































S o l u c i o n e s

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados


S o l u c i o n e s

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

EnunciadosEnunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados

Enunciados



Método de integración por sustitución
El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar unreemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación. Vale la pena resaltar que este método se utiliza cuando no semira a simple vista su primitiva directa.
Si  es una función derivable cuyo alcance es un intervalo I y f es contínua en I en tal caso:


Se puede definir este método en cuatro pasos importantes:
1. Identificar la fución a sustituir, es decir Identificar "u" (Usualmente se cometen mas errores en este paso).
2. Determinar el diferencial de "u" ("du").
3. Reescribir el integral ya sustituido.
4....