Elasticidad lineal

Capítulo 3
Elasticidad lineal
3.1. Coecientes de elasticidad de un medio elástico
Los medios elásticos se caracterizan porque su ley constitutiva es del tipo:
bs = bs(be) (3.1)
La ecuación (3.1) es una generalización de la conocida ley de Hooke a forma tensorial. Esta relación
entre los tensores de tensiones y deformaciones, se expresa de la forma siguiente:
si j =Ci jklekl (3.2)
En elcapítulo 2 se estableció que existe una conguración para el sólido llamada su estado natural
o no deformado. Este estado es de equilibrio, puesto que la energía libre para esa conguración
presenta un mínimo. Para ese estado:
El tensor de fuerza es cero: bs = 0.
El tensor de deformación es cero: be = 0.
y en la relación (3.1) se añade una condición:
bs(0) = 0
Un sólido elástico estarádeformado cuando tenga una conguración distinta a la de su estado
natural 1.
Desde el punto de vista de las ecuaciones, que en el estado natural no haya tensiones, se traduce
en que la ley de comportamiento no tiene término independiente.
3.2. Medio elástico lineal, homogéneo e isótropo
En lo que sigue, se va a estudiar el medio elástico lineal homogéneo e isótropo, que es el modelo
más simplede sólido elástico. En este caso, su ley de comportamiento, o su ecuación constitutiva tiene
la forma:
si j =Ci jklekl = lekkdi j +2µei j (3.3)
1Las deformaciones se miden entre distintas conguraciones del m.c.d., por esto hay que tomar un estado de referencia,
este será el estado natural.
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60 CAPÍTULO 3. ELASTICIDAD LINEAL
pues en el caso isótropo, de todos los elementos del tensor Cijkl , sólo dos son independientes. Estos dos
términos se denotan por l y µ y se les denomina módulos de Lamé, coecientes de Lamé o módulos
elásticos. Aunque se considerará a l y µ como constantes, éstos en general son función de la presión
y de la temperatura:
l;µ = f (p;T: : : : ):
3.3. Signicado físico de los módulos elásticos
Si el tensor de deformaciones se descompone en su parteesférica eli
j y en su parte tensor desviador
edi
j :
ei j = eli
j +edi
j
puesto que eli
j = 1
3 ei jdi j y edi
j = ei j 1
3 ei jdi j donde ekk es la traza del tensor de deformaciones.
ei j =
1
3
ekkdi j +(ei j
1
3
ekkdi j)
y si se substituye en (3.2)
si j = (ldi jekk +2µ(ei j
1
3
di jekk)+
2
3
µdi jekk)
si j = (l+
2
3
µ)di jekk +2µ(ei j
1
3
di jekk) (3.4)
El primersumando de (3.4) debe ser la parte esférica del tensor de tensiones
(l+
2
3
µ)ekkdi j
y será no nulo en aquellas deformaciones con variación de volumen. El segundo sumando de (3.4) se
corresponderá con la parte desviador
2µ(ei j
1
3
ekkdi j)
y necesariamente será no nulo en deformaciones sin variación de volumen.
Para ver el signicado de los coecientes de Lamé, o denir otros módulos2, se analizará la
respuesta del medio elástico (como se deforma) bajo distintos tipos de solicitación.
En primer lugar se buscará una expresión donde las variables dependientes sean las deformaciones.
Si en (3.4) se toma la traza (se contraen los índices i j)
sii = (3l+2µ)ekk
y se despeja la traza del tensor de tensiones:
ekk =
sii
(3l+2µ)
2Recordar que estos módulos se construirán,directa o indirectamente, a partir de los coecientes de Lamé, pues el sólido
elástico homogéneo e isótropo, sólo dos elementos del segundo tensor elástico son independientes.
3.3. SIGNIFICADO FÍSICO DE LOS MÓDULOS ELÁSTICOS 61
X
s
s
Figura 3.1: Una barra delgada de material elástico se somete a tracción uniaxial.
se puede hacer uso de (3.4) y reagrupar:
si j (l+
2
3
µ)di jekk = 2µei j2µ
3
di jekk
si j ldi jekk = 2µei j
ei j =
1
2µ
(si j ldi jekk)
e incorporar la traza del tensor de deformaciones ekk:
ei j =
1
2µ
si j
l
2µ(3l+2µ)
di jskk (3.5)
3.3.1. tracción uniaxial
Un medio elástico se somete a tensión dirigida a lo largo de un eje. En este caso, el tensor de
esfuerzos tiene la forma:
bs =
0
@
s 0 0
0 0 0
0 0 0
1
A
El único término del tensor de...