Elasticidad y plasticidad

Elasticidad y plasticidad
de Elementos Finitos

Introducción Elemental al Método

Introducción elemental al método de Elementos Finitos (E.F.)
C. P. Filipich
1) Problemas en una dimensión:
Con el fin de fijar ideas sea una función f = f ( x ) acotada y seccionalmente

continua en [ 0,L] : ( 0 ≤ x ≤ L) que pretendemos desarrollar de alguna forma, y cuya
mecánica nos indicará cómoafrontar la solución de problemas diferenciales,
dividamos el dominio en
( N − 1) tramos iguales (aunque esto no es
necesariamente indispensable de longitud a (ver figura 1)

a=

L
N−1

(1)
x
L
a

nodo
1

a
1

a
1

a
1

a
1

a
1

1

figura 1
En la figura 1 N=6 que corresponde al n° de nodos n = 1,2,...,N . Cuando
solucionemos algún problema obtendremos las funcionesincógnitas en los N
nodos.
2) Funciones base o de forma:
Continuando
por
comodidad
con
N=6
definimos
continuas φn ( x ) (n=1,2,...,N) como se observa en la figura 2.

las

funciones

1

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1

φ1
1

φ2

1

φ3

1

φ4

1

φ5

1

φ6
x

figura 2
Con valor unitario en el nodocorrespondiente.
En la figura 3 mostramos las funciones φ ´n ( x ) (n=1,2,...,N) que corresponden a las
derivadas de las funciones base y son discontinuas.

2

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φ ´1

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-

+

φ ´2

1/ a

1/ a
-

+

φ ´3

1/ a

1/ a
-

+

φ ´4

1/ a

1/ a
-

+

φ ´5

1/ a

1/ a
-

+

φ´6
a

a

a

a

1/ a

1/ a

a

x

figura 3
Analíticamente las funciones base φi ( x ) y sus derivadas φ ´i ( x ) las expresamos
como sigue:

0 si 0 ≤ x ≤ ( i-2+δ i 1 ) a

 x
φi ( x ) =  − i + 2  (1 − δ i 1 ) si ( i-1) a ≤ x ≤ ( i − δ Ni ) a


 a
0 si ( i − δ Ni ) a ≤ x ≤ ( N − 1) a

(i = 1,2,...,N)

(2)

Para hallar las derivadas sencillamente derivamoslas expresiones (2) y entonces:

0 si 0 ≤ x ≤ ( i-2+δ i 1 ) a

 1
φ ´i ( x ) = − ( i − δ Ni ) si ( i-1) a ≤ x ≤ ( i − δ Ni ) a
 a
0 si ( i − δ Ni ) a ≤ x ≤ ( N − 1) a

(i = 1,2,...,N)

(3)

3

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Nota: Los son los deltas de Kronecher de 2° orden.
3) Desarrollo de una función seccionalmentecontinua y acotada:
La propuesta de esta sección será utilizada para resolver en base a la
denominada solución débil problemas diferenciales. Es decir acá mostraremos de
forma elemental y sencilla cómo una función f ( x ) x ∈ [ 0,L] puede ser
aproximada como combinación lineal apropiada de las funciones de forma. En
un problema diferencial y en base al método de Galerkin también expandiremoslas funciones que intervienen en el problema aludido, las conocidas y las
incógnitas – solución del problema – encontrando en realidad sus valores
aproximados en los nodos del dominio de integración que hemos dividido en
( N − 1) tramos. Grosso modo, cuanto más refinada sea la subdivisión (N más
grande) más precisa será la solución buscada.
Sea entonces f = f ( x ) la función seccionalmentecontinua y acotada que se
dibuja en la figura 4:
f(x)
f2
f3
f1
a

x

a

nodo
1

a

a

2

a

3

4

5

6
f6

f4
f5

figura 4
Imponemos

f ( x)

N

f * ( x ) = ∑ fi φi ( x )

(4)

i =1

Donde es fácil ver, recordando la definición de las φi ( x ) , que (figura 4) que

f1 , f2 ,..., fN

son

los

valores

de

la

función

desarrolladaf ( x)

en

x = a,2a,3a,...,(N − 1)a,Na respectivamente o sea genéricamente:

fi ≡ f ( ia)

( i = 1,2,3,...,N − 1,N)

(5)

4

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Analizando la expresión ( f ) y la expresión de cada φi

( x) ( exp(2) )

podemos

expresar la f * ( x ) en forma general para cada dominio de validez; o sea de...