Elasticidad

Universidad Federico Santa María Departamento de Obras Civiles

Ecuaciones Básicas de Elasticidad y Métodos Energéticos
Análisis Estructural (CIV–234) H. Jensen & M. Valdebenito

Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Deformación – Desplazamiento
• Deformada de estructura elástica sometida a cargas y distribución de temperatura puede ser descrita a través de 3 desplazamientos
Campode desplazamientos Estructura descargada Estructura cargada

P
z y Posición P: z y

P

x

x

Posición P:
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USM – Análisis Estructural (CIV–234)

Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Deformación – Desplazamiento
• Deformaciones pueden ser representadas como derivadas parciales del campo de desplazamiento. Considerando deformaciones pequeñas:

Deformaciones normales oextensionales

Deformaciones de corte estructural (en notación tensorial, se antepone factor 1/2)

USM – Análisis Estructural (CIV–234)

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Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Deformación – Desplazamiento
• Ejemplo: caso bidimensional
C’ D’

z
x Elemento infinitesimal

D A’

C

B’

x
A B

y
USM – Análisis Estructural (CIV–234) 4

Ecuaciones Básicas deElasticidad
Relaciones Deformación – Desplazamiento
• Ejemplo: caso bidimensional – interpretación

C’ D’

Deformación normal – dir. x (cambio de longitud)

D

C A’

B’

x A y B

Caso dir. y es similar

USM – Análisis Estructural (CIV–234)

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Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Deformación – Desplazamiento
• Ejemplo: caso bidimensional – interpretación

C’ D’Deformación de corte (desangulación)

D

C A’

B’

x A y B

USM – Análisis Estructural (CIV–234)

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Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Esfuerzo – Deformación
• Deformaciones en estructura elástica pueden ser ocasionadas por temperatura y/o cargas – Temperatura  Efecto de dilatación  Eventualmente, surgen deformaciones elásticas (continuidad / condiciones de borde) Modelamiento:
Deformación térmica
Coeficiente de dilatación térmica Diferencial de temperatura
USM – Análisis Estructural (CIV–234)

Delta de Kronecker

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Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Esfuerzo – Deformación
• Deformaciones en estructura elástica pueden ser ocasionadas por temperatura y/o cargas – Carga Recordatorio: Esfuerzos  Relación entre deformaciones ( ) y esfuerzos () modelada a través de la Ley de Hooke  Material isotrópico y homogéneo es caracterizado a través z del módulo de Young () y módulo de y Poisson () x
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USM – Análisis Estructural (CIV–234)

Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Esfuerzo – Deformación
• Deformaciones en estructura elástica pueden ser ocasionadas por temperatura y/o cargas – Carga  Relación entre deformaciones ( )y esfuerzos ( ) modelada a través de la Ley de Hooke  Nota: se define el módulo de corte como

USM – Análisis Estructural (CIV–234)

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Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Esfuerzo – Deformación
• Deformación total incluye los efectos descritos previamente

•

Las relaciones esfuerzo – deformación pueden ser escritas de manera matricial, i.e.:

USM – Análisis Estructural(CIV–234)

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Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Esfuerzo – Deformación
• Alternativamente, las relaciones esfuerzo – deformación pueden ser escritas en términos de esfuerzos, i.e.:

USM – Análisis Estructural (CIV–234)

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Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Ecuaciones de Equilibrio
• Relacionan las componentes de esfuerzo ( ) al considerar equilibrio respecto de momentosy fuerzas – Caso bidimensional: 4 esfuerzos, 3 ecuaciones de equilibrio  Ejemplo: sumatoria de fuerzas en dirección x

y x

A

, :fuerzas por unidad de área
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Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Ecuaciones de Equilibrio
• Relacionan las componentes de esfuerzo ( ) al considerar equilibrio respecto de momentos y fuerzas – Caso tridimensional: 9...