Elasticidad

Representación gráfica de la elipse
* Representen gráficamente y encuentren las coordenadas de los focos de la elipse dada por la ecuación:

Con los datos de la ecuación podemos encontrar directamente los valores de a y b.

Con los valores de a y b podemos encontrar la distancia focal c.

Por lo tanto la coordenadas de los focos son
 
Los vértices y los covértices tienen lassiguientes coordenadas
     
El gráfico sería:

* Representen gráficamente y encuentren las coordenadas de los focos de la elipse dada por la ecuación:

De la gráfica obtenemos que

Pero cuando queremos encontrar la distancia focal c, nos encontramos con un problema

El valor de c no es un número real.
El error surje debido a que en este caso los focos de la elipse se encuentran en el ejey, ¿cómo nos damos cuenta de eso?, si observamos los valores de a y b vemos que b es mayor, eso nos indica que el diámentro mayor se encuentra sobre el eje y, y en él, están los focos.
Elementos de elipse
Excentricidad:
La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y susemieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

, con
Dado que , también vale la relación:

o el sistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero.3 La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.
(No se debe usar la letra e para designarla, porque sereserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos. Véase: número e).
[editar] Excentricidad angular de una elipse
La excentricidad angular α es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:

Radio vectores:

 
Las distancias desde un punto de la elipse hasta cada uno de los focos se llaman radios vectorescorrespondientes a dicho punto.
 
Para simplificar los cálculos, se supondrá inicialmente una elipse cuyo centro es el origen de coordenadas y cuyos focos se encuentran en el eje de abscisas. Así los focos serán F(c, 0) y F ''(-c, 0) y los ejes de la elipse son los ejes de coordenadas.
 
Cálculo de los radios vectores
Dado un punto P(x, y) de una elipse centrada en el origen y con focos enF(c, 0) y F'(-c, 0) se tiene:
 

 

 
 
Demostración:
Si el punto pertenece a la elipse, ha de ser:
 

 
 
Operando:

 

 

 

 

 


Eje focal y secundario:
Los puntos fijos     y     se denominan focos, siendo el eje focal la recta que pasa por ellos. Se llama eje secundario a la mediatriz del segmento   . Elpunto medio de dicho segmento es el centro de la elipse. Los dos ejes de la elipse cortan a ésta en cuatro puntos,   ,   ,     y     que reciben el nombre de vértices .
La distancia focal es la que hay entre los focos y se expresa por   . La mitad de esta distancia,   , es la semidistancia focal. Para cualquier punto     de la elipse, se verifica que     es constante. Llamamos a esta constante  . El segmento     es el eje mayor de la elipse. La longitud del eje mayor es   . La mitad de esta distancia,   , se denomina semieje mayor.
El segmento     es el eje menor de la elipse y su longitud se expresa por   . La mitad de esta distancia,   , es el semieje menor.
Si aplicamos el teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo que forman los puntos   ,     y el centro de la elipse,concluimos que en cualquier elipse se cumple la relación:

Vértices:

(0, b) y (0, -b).
 
Demostración:
Los vértices son los puntos donde la elipse corta a sus ejes. Se calculan por separado para cada eje:
 
 Eje principal:
 
El eje principal es el eje de abscisas, es decir y = 0. Para hallar su intersección con la elipse se resuelve el sistema:
 

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