Eleana

Derivada
En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una cantidad en un punto dado o sea la velocidad de crecimiento o variación; por ejemplo, la derivada dela posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.
La derivada de una función en un valor de entrada dado describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en lagráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.
El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es elproceso inverso de la integración en funciones continuas.
FUNCIÓN | FUNCIÓN DERIVADA |   | FUNCIÓN | FUNCIÓN DERIVADA |
Y = k | Y' = 0 | | Y = x | Y' = 1 |
Y = u + v + w | Y' = u' + v' + w' | | Y = u·v | Y' = u·v' + u'·v |
         u Y = ——         v |         v·u' – v'·u Y' = ——————             v2 | | Y = Logb u |          u' Y' = ——· Logb e  (*)         u |
Y = un | Y' = u'·n·un–1 | | Y= Ln u |           u' Y' = ——          u |
Y = ku | Y' = u'·ku·Ln k             (*) | | Y = eu | Y' = u'·eu |
  |   | |   |   |
Y = sen u | Y' = u'·cos u | | Y = cosec u | Y' = –u'·cosec u·cotg u |
Y = cos u | Y' = –u'·sen u | | Y = sec u | Y' = u'·sec u·tg u |
Y = tg u | Y' = u'·(1 + tg2 u)     (**) | | Y= cotg u | Y' = –u'·cosec2 u |
Y = arsen u |                u' Y' =——————           ————         √ 1 – u2 | | Y = arcosec u |                 –u' Y' = ————————                ————         |u|·√ u2 – 1 |
Y = arcos u |               – u' Y' = ——————           ————         √  1 – u2 | | Y = arsec u |                  u' Y' = ————————                ————         |u|·√  u2 – 1 |
Y = artg u |              u' Y' = ————         1 + u2 | | Y = arcotg u |            –u' Y' =————         1 + u2 |
  |   | |   |   |
Y = uv | Y' = v'·uv·Ln u+v·uv–1·u' | |   |   |
  |   | |   |   |
Y = f(x) => LnY = Ln f(x) => (Y'/Y) = (Ln f(x))' => Y' = Y·(Ln f(x))' |
(*)  Ln k = 1/(Logk e)        ;      (**) = u'/(cos2 u) = u'·sec2 u   |
 u,v,w son funciones de x  ; u' es la derivada de u respecto de x  ; k es una cte ; Ln es Log base e ;  n y b son números racionales ; |u| es valorabsoluto de u. |

Grafico para realizar una derivada

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).
Puntos críticos
Por punto crítico se entiende: un punto singular, un punto donde no exista la derivada o un punto extremo a ó b del dominio [a,b] dedefinición de la función.
Si la segunda derivada es positiva en un punto crítico, se dice que el punto es un mínimo local; si es negativa, se dice que el punto es un máximo local; si vale cero, puede ser tanto un mínimo, como un máximo o un punto de inflexión. Derivar y resolver en los puntos críticos es a menudo una forma simple de encontrar máximos y mínimos locales, que pueden ser empleados enoptimización. Aunque nunca hay que despreciar los extremos en dichos problemas

PUNTOS DE INFLEXIÓN

DEFINICIÓN
El punto que, en una función continua, separa la parte convexa de la cóncava, se llama punto de inflexión de la función. En ellos la función no es cóncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o al revés.

Los puntos de inflexión...