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RECTAS Y PLANOS R3.
RECTAS EN R3.
Considere dos puntos P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) que pasan sobre una recta L.  Un vector paralelo a L es aquel con representación. Entonces
v =(x2 – x1)i + (y2 – y1)j + (z2 – z1)k
Resulta ser un vector paralelo a la recta L. Ahora sea el punto R = (x, y, z) otro punto sobre la misma recta L. Entonces  es paralelo a , que a su vez es paralelo a v. Porlo tanto,
= tv
Para algún número real t. Ahora, observando la figura se tiene que para cualquiera de los tres casos posibles,
=  + 

   En los tres casos OR = OP + PR
 
Al combinar las dosúltimas expresiones, se tiene que:  =  + tv
Esta expresión se conoce como ecuación vectorial de la recta L. Si R está sobre L, entonces esta ecuación se satisface para algún número real t. Demanera contraria, si dicha ecuación se cumple, entonces invirtiendo los pasos, se observa que  es paralelo a v, lo que significa que R está sobre L.
Si se desarrollan las componentes de la ecuaciónvectorial de la recta, se obtiene:
xi + yj + zk = x1i + y1j + z1k + t(x2 – x1)i+ t(y2 – y1)j+ t(z2 – z1)k
o también:

Este grupo de ecuaciones se conocen como ecuaciones paramétricas de una recta.
Sidel anterior grupo de ecuaciones despejamos t y definimos a =x2– x1, b = y2 – y1 y c = z2 –z1, se encuentra que si abc ≠ 0, entonces,

Las cuales se denominan ecuaciones simétricas de una recta.Aquí a, b y c son números directores del vector v y por supuesto estas ecuaciones son válidas si a, b, y c son diferentes de cero.
RESOLVER.
1.- Hallar las ecuaciones vectoriales, paramétricas ysimétricas de la recta L que pasa por los puntos P = (1, –1, 2) y Q = (–2, 1, 3).

PLANOS EN R3.
Sea P0(x0, y0, z0) el punto de un plano. Sea (a, b c) un vector perpendicular al plano, llamadovector normal al plano. Véase la figura. Estas dos cantidades, un punto en el plano y un vector normal al plano, definen al plano. Únicamente existe un plano a través de un punto dado y con una normal...