electrica

Clase 4. Campos Vectoriales y Operadores Diferenciales
Un campo vectorial en Rn es una funci´n F : D ⊂ Rn → Rn . Si F es un campo vectorial,
o

una l´
ınea de flujo (l´
ınea de corriente o curva integral) para F es una trayectoria σ(t) tal
que σ ′ (t) = F (σ(t)).De esta manera F define el campo de velocidad de las trayectorias.
Suponemos que F es de clase C 1 .

Anal´
ıticamente elproblema de hallar una l´
ınea de flujo que pase por el punto x0 en t = 0,

o
implica resolver la ecuaci´n diferencial σ ′ (t) = F (σ(t)), con condici´n inicial σ(0) = x0 .
o
En R3 , si F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) (coordenadas cartesianas) se obtiene el sistema
x′ (t) = P (x(t), y(t), z(t))
y ′ (t) = Q(x(t), y(t), z(t))
z ′ (t) = R(x(t), y(t),z(t))
con
x(0) = x0
y(0) = y0
z(0) = z0
Geom´tricamente el problema de hallar una l´
e
ınea de flujo que pase por x0 es el de hallar
una curva que “colocada” en el campo vectorial, su vector tangente (a la curva) “coincida”
con el campo vectorial, como se muestra en la figura (??) El problema de valor inicial

x

Figura 10:
σ(t) = F (σ(t)), σ(0) = x0 es equivalente a la ecuaci´nintegral
o
t

σ(t) =

F (σ(t)) dt + x0
0

En general la soluci´n unica, la l´
o ´
ınea de flujo (en condiciones adecuadas) estar´ dada
ıa
por una funci´n φ(x, t) indicando la posici´n del punto en la l´
o
o
ınea de flujo que pasa por x
despu´s de transcurrido el tiempo t.
e
Luego de,

∂
φ(x, t)
∂t

= F (φ(x, t)), φ(x, 0) = x ser´
ıa
t

φ(x, t) =

F (φ(x, t)) dt + x
0

yas´ la integral representa el flujo F .
ı
Definici´n 3.8 (Rotor). Consideremos el campo vectorial F de clase C 1 en R3 , F (x, y, z) =
o

(P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Se define el rotor de F como el campo vectorial de clase C

dado por

Rot(F ) = (Ry − Qz , Pz − Rx , Qx − Py )
∂
∂
∂
Usando el s´
ımbolo del gradiente, ∇, dado por ∇ = ( ∂x , ∂y , ∂z ) y su interpretaci´n como
oun operador diferencial se obtiene que
i
Rot(F ) = ∇ × F =

j

k

∂
∂x

∂
∂y

∂
∂z

P

Q

R

= (Ry − Qz , Pz − Rx , Qx − Py )

y su acci´n en un campo escalar f es
o
∂ ∂ ∂
, ,
∂x ∂y ∂z

∇f =

f=

∂f ∂f ∂f
,
,
∂x ∂y ∂z

el gradiente de f .
Definici´n 3.9 (Divergencia). La divergencia del campo vectorial F se define por
o
div F = ∇ · F =

∂P
∂Q ∂R
++
∂x
∂y
∂z

Teorema 3.10. Para cualquier campo escalar f de clase C 2 se cumple que Rot (grad(f )) = 0,

es decir, ∇ × ∇f = 0

Demostraci´n : La demostraci´n es sencilla, basta calcular
o
o
i
∇ × ∇f =

j

k

∂
∂x

∂
∂y

∂
∂z

fx fy fz

= (fyz − fzy , fzx − fxz , fyx − fxy ) = 0

ya que las derivadas cruzadas son iguales por ser f de clase C 2 .

Teorema 3.11.Para cualquier campo vectorial F de clase C 2 se cumple que div(Rot F ) = 0,

es decir, ∇ · (∇ × F ) = 0

Demostraci´n : Hacemos F = (P, Q, R) y calculamos
o
∇ · (∇ × F ) = ∇ · (Ry − Qz , Pz − Rx , Qx − Py )
∂
∂
∂
=
(Ry − Qz ) +
(Pz − Rx ) + (Qx − Py )
∂x
∂y
∂z
= Ryx − Qzx + Pzy − Rxy + Qxz − Pyz
= 0
porque las derivadas cruzadas son iguales por ser F de clase C 2
Teorema 3.12.Sean f y g campos escalares de clase C 2 . Se cumple que div(∇f × ∇g) = 0
Demostraci´n : Para realizar la demostraci´n de nuevo hay que realizar las operaciones
o
o
indicadas:
i

j

k

∇f × ∇g = fx fy fz = (fy gz − fz gy , fz gx − fx gz , fx gy − fy gx )
gx gy gz

luego

∂
∂
∂
(fy gz − fz gy ) +
(fz gx − fx gz ) + (fx gy − fy gx )
∂x
∂y
∂z
al calcular las derivadas de losproductos y tomando en cuenta que las derivadas cruzadas
div(∇f × ∇g) =

son iguales porque f y g son de clase C 2 se obtiene que div(∇f × ∇g) = 0.
Algunas identidades sencillas en el an´lisis vectorial ser´ las siguientes: f y g denotan
a
ıan
campos escalares y F y G campos vectoriales
(a) ∇(f + g) = ∇(f ) + ∇(g).
(b) ∇(kf ) = k∇(f ), donde k es una constante.
(c) ∇(f g) = f ∇(g) + g∇(f...