electricidad y magnetismo 2 ayudantia fabian cadiz

Parte II
Conductores, Ecuaciones de Poisson y
Laplace

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Cap´
ıtulo 7
Conductores
Hasta aqu´ hemos terminado con los problemas donde la distribuci´n de carga es conocida
ı
o
desde el comienzo. (Integrales de Coulomb). Hasta ahora han sido problemas sin mayores complicaciones que calcular correctamente las integrales. Ahora atacaremos otro tipo de problemas,
la determinaci´n delos campos cerca de conductores.
o
La materia se puede clasificar gruesamente en conductores y aislantes ( o diel´ctricos). Un
e
material diel´ctrico posee electrones fuertemente ligados a los ´tomos, de manera que ante la
e
a
presencia de un campo el´ctrico las part´
e
ıculas cargadas pueden cambiar sus posiciones ligeramente, pero se mantienen ligadas a sus mol´culas. Por otro lado, unmaterial conductor (como
e
un metal) es aqu´l que en su interior posee un gran n´mero de electrones libres, y ´stos se
e
u
e
pueden mover libremente en el conductor, responden a campos el´ctricos casi infinitesimales y
e
contin´an su movimiento mientras experimentan un campo. Esta corriente de electrones debe
u
estar constantemente provista de fuentes externas de energ´ o sino el movimientode los elecıa,
trones se detendr´ cuando cancelen el efecto de la fuente que produce el campo original (se
a
alcanza un equilibrio est´tico).
a
Campo el´ctrost´tico dentro de un conductor es nulo
e
a
En electrost´tica, no consideramos fuentes continuas de corriente, de manera que los electrones
a
se mover´n hasta que se arreglen de forma que produzcan un campo el´ctrico nulo encualquier
a
e
parte dentro del conductor (esto suele pasar en una fracci´n de segundo). Si quedara alg´n
o
u
campo dentro del conductor, este campo mover´ m´s electrones, luego la unica soluci´n elecıa a
´
o
trost´tica es que el campo es cero en cualquier punto interior del conductor.
a
La carga en un conductor se distribuye en su superficie
Consecuencia directa de la propiedad anterior es quela carga en un conductor debe distribu´
ırse
en su superficie. De la ley de gauss, es evidente que si existiera una carga neta al interior del
conductor, el flujo el´ctrico sobre la superficie de la figura ser´ distinto de cero, y por lo tanto,
e
ıa
existir´ un campo el´ctrico en su interior
ıa
e

139

ˆˆ

§¤
¦ ¥dS(x ) · E(x )
S

= 0 → qin = 0

Notar que como el campo el´ctrico escero en el interior de un conductor, entonces
e
− φ=0
Esto significa que al interior de un conductor el potencial es constante.
La dificultad que se presenta cuando hay condutores presentes es evidente. Suponga que estamos en la situaci´n en que se carga un conductor con una carga Q. Ahora no estamos en
o
condiciones de saber exactamente d´nde est´n las cargas, s´lo sabemos que ellas se van adiso
a
o
tribu´ sobre toda la superficie. ¿C´mo podemos determinar la forma en que se distribuyen las
ır
o
cargas? Veremos que ellas se deben distribu´ de forma que que la superficie del conductor forme
ır
una equipotencial. Si la superficie de un conductor no fuera equipotencial, entonces habr´
ıa
un campo el´ctrico distinto de cero en el interior del conductor, y las cargas en elconductor se
e
seguir´n moviendo hasta que finalmente el campo en su interior se anula. (y se alcanze nuevaa
mente un estado de equilibrio electrost´tico)
a
Componente tangencial de E en la superficie de un conductor es cero
Considere la integral de l´
ınea sobre el camino cerrado de la figura
˛
dx · E

Como el campo el´ctrico es conservativo, la integral de l´
e
ınea sobre el camino cerradoabcda es
cero.
˛
dx · E = Et (∆l) − En (∆x ) + 0(∆l) + En (∆x) = 0
abcda

donde En y Et son las componentes normal y tangencial del campo el´ctrico, respectivae
mente, y hemos escogido el segmento ab paralelo a Et en todos los puntos.
En el l´
ımite cuando ∆x → 0 y ∆x → 0, se tiene
Et ∆l = 0

140

Como ∆l es una longitud finita, se concluye que la componente tangencial del campo...