electricidad

Ecuaciones de Laplace y de Poisson

Una aproximación útil para el cálculo del potencial eléctrico se consigue relacionando ese potencial con la densidad de carga a la que da lugar. El campoeléctrico se relaciona con la densidad de carga por la relación de divergencia

y el campo eléctrico se relaciona con el potencial eléctrico por la relación de gradiente

Por lo tanto, el potencial estárelacionado con la densidad de carga por la ecuación de Poisson.

En una región del espacio libre de cargas, esto se convierte en la ecuación de Laplace

A esta operación matemática, la divergenciadel gradiente de una función, se le llama laplaciano. Expresando el laplaciano en diferentes sistemas de coordenadas para aprovechar la simetría de la distribución de cargas, ayuda a la solución delpotencial eléctrico. Por ejemplo, si la distribución de cargas tiene una simetría esférica, usamos coordenadas polares esféricas.

Dado que el potencial es una función escalar, este enfoque tieneventajas con respecto a tratar de calcular el campo eléctrico directamente. Una vez que se ha calculado el potencial, se puede calcular el campo eléctrico tomando el gradiente del potencial.
Ejemplo:Esfera de Carga Uniforme
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Potencial de una Esfera de Cargas Uniformes

Se vaa explorar el uso de las ecuaciones de Poisson y Laplace para una esfera de carga uniforme. En coordenadas polares esféricas, la ecuación de Poisson toma la forma:


pero puesto que aquí hay unasimetría esférica completa, las derivadas respecto a θ y φ deben ser cero, quedando la forma

Examinando primero la región exterior a la esfera, se aplica la ley de Laplace.

Como el potencialcero es arbitrario, es razonamble elegir ese potencial en el infinito, como en la práctica estándar de cargas localizadas. Esto da el valor b=0. Puesto que la esfera de carga se asemeja a una carga...