electricidad

Función
Exponencial

Unidad
4

Concepto
Al bombardear un átomo de uranio con neutrones, su núcleo se divide
en dos núcleos más livianos, liberando energía y 3 neutrones. Bajo
ciertas condiciones, es decir, si existe una
masa crítica1 de uranio, se inicia una reacción en cadena: cada uno de los neutrones liberados choca
al núcleo de otro átomo, al que dividen en dos núcleos, liberandoen cada colisión gran cantidad de energía y tres neutrones, y así sucesivamente, como muestra la figura.
Si construimos una tabla de valores para la función que relaciona la cantidad de neutrones liberados en cada choque,
con el número de choque y al choque, o momento inicial,
con el neutrón que bombardea el primer átomo y lo graficamos, obtenemos:

x: Nº de choque
0
1
2
3
4
.....
xF(x)= Cantidad de neutrones
1 = 30
3 = 31
9 = 32
27 = 33
81 = 34
......
3x

Una función es exponencial si se expresa de la forma f ( x ) = k ⋅ a x . Siendo a un número
real positivo distinto de 1 y k un número real distinto de cero (k ≠ 0 ) .
1

Se llama masa crítica de uranio a la cantidad de masa mínima que se necesita para mantener una reacción en cadena.

Unidad Nª 4
a sedenomina base y k, coeficiente de la función exponencial proviene de que la variable figura en el exponente.
Analizaremos ahora la función f ( x ) = a x donde (k = 1)
Para ello graficaremos la siguiente función:

f (x ) = 2 x

X
-3
-2

-1
0
1
2
3
.....

f (x ) = 2 x
1
2−3 =
8
1
2 −2 =
4
1
−1
2 =
2
20 = 1
21 = 2
22 = 4
23 = 8
.......

El dominio natural de la funciónexponencial es el conjunto de los números Reales
dom( f ) = ℜ .
Mientras que la imagen son los reales positivos Im( f ) = ℜ > 0 , siendo el eje de las abscisas una asíntota2 horizontal.
La función es creciente3 y pasa por el punto (0,1) , que es la ordenada al origen.
Al tener asíntota en el eje de las abscisas, la función no tiene raíces.
Qué pasará ahora con la función

f (x ) = 2

−x1
o f (x ) =  
2

x

Es decir 0 < a < 1

2
3

Asíntota es una recta a la cual la curva se aproxima indefinidamente, sin llegar a tocarla
ES crecimiento vertiginoso se denomina crecimiento exponencial
2

Función exponencial y logarítmica
x

f (x ) = 2 − x

-3

2 − ( −3 ) = 8

-2

2 −( −2 ) = 4

-1

2 −( −1) = 2

0

2 −0 = 1
1
2 −1 =
2
1
2 −2 =
4
1−3
2 =
8
.......

1
2
3
....

Como puedes observar, la función ahora es decreciente, pero manteniéndose las mismas
características del dominio, imagen, ordenada al origen y asíntota horizontal.
Es decir que ambas son simétricas con respecto al eje de las ordenadas.

3

Unidad Nª 4
x

3
Analizaremos el comportamiento de las funciones f (x ) = 2 , g (x ) = 3 y t ( x ) =   , es2
decir con a > 1
x

x

x

f (x ) = 2

-3

1
2 =
8

-2

2 −2 =

1
4

-1

2 −1 =

1
2

0

g (x ) = 3

x

x

3
t (x ) =  
2

x

−3

1
3 =
27

8
3
  =
27
2

3− 2 =

1
9

4
3
  =
9
2

3−1 =

1
3

2
3
  =
3
2

20 = 1

30 = 1

3
  =1
2

1

21 = 2

31 = 3

3 3
  =
2 2

22 =4

3 =9

9
3
  =
4
2

3

2 =8

3 = 27

 3  27
  =
8
2

−3

−3

−2

−1

0

1

2

2

2

3

3

3

Si lo graficamos, obtenemos:
g (x ) = 3x
3
f (x ) = 2 x t (x ) =  
 
2

4

x

Función exponencial y logarítmica
Los gráficos de las funciones de la forma f ( x ) = a x , con a > 1 tienen características
comunes:
• Lascurvas tienen la misma ordenada al origen y es el punto (0;1).
• Las curvas son crecientes, y crecen tanto más rápido cuanto mayor sea la base.
• La imagen toma valores positivos , es decir Im f = ℜ > 0
• La curva no corta al eje de las abscisas, osea que tiene la misma asíntota y esta
es y = 0
Que considerasiones podemos hacer si la base esta comprendida entre 0 y 1, es decir
0 < a < 1....