Electricidad

Tema 1
Espacios Vectoriales.

1.1.

Definici´n de Espacio Vectorial
o

u
Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los n´meros Naturales,
Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.
Definici´n 1.1.2. Sea R el conjunto de los n´meros reales. Un espacio vectorial sobre
o
u
R consta de un conjunto no vac´ V , una ley de composici´n interna sobre V ,‘+’, y una
ıo
o
aplicaci´n de R × V en V , ‘·’, (ley externa), verificando las siguientes propiedades:
o
(1) (V, +) es un grupo abeliano, esto es, para todo ⃗ , ⃗ , w ∈ V ,
uv ⃗
• (1.1) ⃗ + ⃗ = ⃗ + ⃗ . (Conmutativa).
uvvu
• (1.2) ⃗ + (⃗ + w) = (⃗ + ⃗ ) + w. (Asociativa).
u
v⃗
uv
⃗
• (1.3) Existe ⃗ ∈ V tal que para todo ⃗ ∈ V , ⃗ + ⃗ = ⃗ . (Elemento neutro).
0
u
0uu
• (1.4) Para todo ⃗ ∈V , existe ⃗ ′ ∈ V tal que ⃗ + ⃗ ′ = ⃗ (opuesto de ⃗ ).
u
u
uu
0
u
(2) Para todo ⃗ , ⃗ ∈ V y para todo α, β ∈ R,
uv
• (2.1) α · (⃗ + ⃗ ) = α · ⃗ + α · ⃗ .
uv
u
v
u
u
u
• (2.2) (α + β ) · ⃗ = α · ⃗ + β · ⃗ .
u
u
• (2.3) α · (β · ⃗ ) = (α · β ) · ⃗ .
• (2.4) 1 · ⃗ = ⃗ .
uu

1

Curso 2012/2013

Matem´ticas (Grado en Qu´
a
ımica)

Notas 1.1.3.
(1) Los elementos de V sedenominar´n vectores y los de R escalares.
a
(2) El elemento u′ cuya existencia asegura (1.4) es unico y se notar´ por −⃗ .
´
a
u
Ejemplos 1.1.4. Son espacios vectoriales sobre R:
M (n × m, R). (Conjunto de las matrices con coeficientes en R con n filas y m columnas).
Un conjunto con un unico elemento {⃗ } es un espacio vectorial que llamaremos
´
0
espacio vectorial trivial.
El conjuntoR[X ] de los polinomios en X , de grado menor o igual que n, con coeficientes en R es un espacio vectorial sobre R.
Proposici´n 1.1.5. Sea V un espacio vectorial sobre R. Para todo ⃗ , ⃗ ∈ V y todo
o
uv
α, β ∈ R se verifica que:
(1) α · ⃗ = ⃗ .
00
(2) 0 · ⃗ = ⃗ .
u0
(3) α · (⃗ − ⃗ ) = α · ⃗ − α · ⃗ .
uv
u
v
(4) (α − β ) · ⃗ = α · ⃗ − β · ⃗ .
u
u
u
(5) (−α) · ⃗ = −α · ⃗ .
u
u

eo
Definici´n 1.1.6. Llamaremos espacio num´rico sobre R, de dimensi´n n, al conjunto:
o
Rn = {(a1 , . . . , an ) | ai ∈ R, i = 1, . . . , n}
En Rn definimos las siguientes operaciones:
(a1 , . . . , an ) + (b1 , . . . , bn ) = (a1 + b1 , . . . , an + bn ).
a · (a1 , . . . , an ) = (a · a1 , . . . , a · an ).
Nota 1.1.7. Los elementos de Rn se denominan vectores y los notaremos por ⃗ , ⃗ , .. ..
uv
Proposici´n 1.1.8. Rn es un espacio vectorial sobre R.
o

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a
ımica)

1.2.

Curso 2012/2013

Subespacios vectoriales

Definici´n 1.2.1. Sea V un espacio vectorial sobre R. Diremos que L ⊂ V (L ̸= ∅) es un
o
subespacio vectorial (o una variedad lineal) de V sobre R si L, con las leyes de composici´n
o
interna y externa de V , es un espaciovectorial.
Proposici´n 1.2.2. L ⊂ V es subespacio vectorial de V si y s´lo si.
o
o
(a) ∀⃗ , ⃗ ∈ L ⇒ ⃗ + ⃗ ∈ L.
uv
uv
(b) ∀⃗ ∈ L, ∀α ∈ R ⇒ α · ⃗ ∈ L.
u
u
Condiciones que se pueden resumir en una sola:
∀α, β ∈ R , ∀⃗ , ⃗ ∈ L ⇒ α · ⃗ + β · ⃗ ∈ L.
uv
u
v

1.3.

Dependencia lineal

Definici´n 1.3.1. Diremos que ⃗ ∈ V es combinaci´n lineal de ⃗1 , . . . , ⃗n ∈ V si existen
o
v
o
v
vα1 , . . . , αn ∈ R tales que:
⃗ = α1 · ⃗1 + · · · + αn · ⃗n
v
v
v
Ejemplos 1.3.2. .
(1) ⃗ es combinaci´n lineal de cualquier conjunto de vectores.
0
o
(2) ⃗ es combinaci´n lineal de cualquier conjunto que contenga a ⃗ .
u
o
u
(3) En R[x] todo polinomio de grado menor o igual a n es combinaci´n lineal de los
o
polinomios {1, x, x2 , . . . , xn }.

Definici´n 1.3.3. Sea A ⊂ V . Sellama subespacio vectorial engendrado por A, y se
o
designa por L(A), al conjunto de todas las combinaciones lineales de un n´mero finito de
u
elementos de A. Si A = ∅, se define L(∅) = {⃗ }.
0

Proposici´n 1.3.4. .
o
(1) L(A) es un subespacio vectorial de V .

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Matem´ticas (Grado en Qu´
a
ımica)

(2) L(A) ⊃ A.
(3) Si A ⊂ B ⇒ L(A) ⊂ L(B ).
(4) Si A es...