Electricidad

INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES

PROBLEMAS DEL CURSO CERO DE MATEMATICAS

Elaborados por Domingo Pestana Galv´n a y Jos´ Manuel Rodr´ e ıguez Garc´ ıa

UNIVERSIDAD CARLOS III DEMADRID Escuela Polit´cnica Superior e Departamento de Matem´ticas a

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1.

Polinomios y fracciones algebraicas

1.1. Determina un polinomio P (x) tal que (x3 − x + 1)P (x) − 2x5 − 2x2 + 3 =3x − 5x3 . Soluci´n: P (x) = 2x2 − 3. o 1.2. Calcula las siguientes potencias: a) 2x − 1 x
2

,

b) x2/3 − x1/2

3

,
y3 x3

c) −

y x − x y
3y x

3

.
x3 y3 .

Soluci´n: a) 4x2− 4 + 1/x2 ; b) x2 − 3x11/6 + 3x5/3 − x3/2 ; c) o

+

3x y

−

1.3. Encuentra un polinomio de segundo grado P (x) tal que P (−1) = 1, P (−2) = 2, y P (−3) = 7. Soluci´n: P (x) = 2x2 + 5x + 4.o 1.4. Halla el valor de k para que el polinomio p(x) = x4 − 2kx3 + x2 − x + k sea divisible por x − 2. Soluci´n: k = 6/5. o 1.5. El resto de dividir el polinomio de segundo grado p(x) por x − 5 es4. Encuentra p(x) sabiendo que es divisible por x − 3 y que su coeficiente principal es 1. Soluci´n: p(x) = x2 − 6x + 9. o 1.6. Calcula los polinomios cociente y resto de la divisi´n o (x5 + 2x3 − x −8) : (x2 − 2x + 1) . Soluci´n: El cociente es x3 + 2x2 + 5x + 8 y el resto es 10x − 16. o ıces de los polinomios 1.7. Encuentra las ra´ p(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 , q(x) = 2x3 − 7x2 + 8x − 3 .

yhalla el m´ximo com´n divisor y el m´ a u ınimo com´n m´ltiplo de ambos. u u Soluci´n: Las ra´ o ıces de p(x) son −2, −1, 3/2, 1, mientras que las de q(x) son 1 (doble) y 3/2. El m´ximo a com´ndivisor es (x − 1)(2x − 3), y el m´ u ınimo com´n m´ltiplo es (x − 1)2 (x + 1)(x + 2)(2x − 3). u u 1.8. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: a) (x + 1)3 , x2 − 1 b) x3 − 27 , x2 − 9 c) x2 + 5x +6 . x2 − 4

Soluci´n: a) (x + 1)2 /(x − 1); b) (x2 + 3x + 9)/(x + 3); c) (x + 3)/(x − 2). o 1.9. Simplifica la expresi´n o x−y x+y + x+y x−y Soluci´n: o
x+y x−y .

x2 + y 2 xy +1 2 . 2xy x + y2...